\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SCA}=45^0\Rightarrow AC=SA=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow AB=a\)

Gọi N là trung điểm SA \(\Rightarrow NM||SB\Rightarrow SB||\left(DMN\right)\)

\(\Rightarrow d\left(DM;SB\right)=d\left(SB;\left(DMN\right)\right)=d\left(B;\left(DMN\right)\right)\)

Mà M là trung điểm AB \(\Rightarrow d\left(B;\left(DMN\right)\right)=d\left(A;\left(DMN\right)\right)\)

Từ A kẻ AH vuông góc DM \(\Rightarrow DM\perp\left(NAH\right)\)

Trong mp (NAH), từ A kẻ \(AK\perp NH\Rightarrow AK=d\left(A;\left(DMN\right)\right)\)

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AD^2}\Rightarrow AH=\dfrac{AM.AD}{\sqrt{AM^2+AD^2}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)

\(\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{AN^2}+\dfrac{1}{AH^2}\Rightarrow AK=\dfrac{AN.AH}{\sqrt{AN^2+AH^2}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}\)

Chọn D

Xác định được

Gọi N là trung điểm BC, suy ra MN//AB.

Lấy điểm E đối xứng với N qua M, suy ra ABNE là hình chữ nhật.

Do đó

+ Xác định góc của SC với (SAD).

Hạ CE ⊥ AD, ta có E là trung điểm AD và CE ⊥ (SAD) nên ∠(CSE) = 30 o .

∠(CSE) cũng chính là góc giữa SC và mp(SAD).

Trong ΔCSE, ta có:

S E   =   C E . tan 60 o   =   a 3   ⇒   S A   =   S E 2 -   A E 2   =   3 a 2   -   a 2   =   a 2 .

Nhận xét

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AE.

Ta có MN // BE nên MN // CD. Như vậy MN // (SCD). Ta suy ra

d(M,(SCD)) = d(N,(SCD)).

Mà DN/DA = 3/4 nên d(N,(SCD)) = 3/4 d(A,(SCD))

+ Xác định khoảng cách từ A đến (SCD).

Vì vậy tam giác ACD vuông cân tại C nên CD vuông góc với AC.

CD ⊥ AC & CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAC) ⇒ (SCD) ⊥ (SAC).

Hạ AH ⊥ SC, ta có AH ⊥ (SCD).

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), D(2a,0,0), C(x_C, y_C, 0)$ (chưa biết tọa độ C)

Tam giác $SAD$ đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy, giả sử $S(a,0,h)$

Trung điểm $H$ của $AD$: $H = \left(\dfrac{0+2a}{2},0,0\right) = (a,0,0)$

Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SHC)$ bằng $2 a \sqrt{6}$, suy ra chiều cao khối chóp theo đáy $h = ?$

Do tam giác SAD đều cạnh $2a$, chiều cao $SH = \sqrt{3} a$

Xác định diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2} \approx 2 a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 2 a^2 \cdot \sqrt{3} a = \dfrac{2 a^3 \sqrt{3}}{3}$

Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

$V = \dfrac{2 a^3 \sqrt{3}}{3}$

Gọi $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, đáy nhỏ $CD$, đáy lớn $AB$.

Tam giác $SAD$ là tam giác đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

Gọi $H$ là trung điểm $AD$, trung tuyến $SH$ vuông góc với đáy.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), D(2a,0,0)$, do tam giác $SAD$ đều và nằm vuông góc đáy ⇒ $S(a,0, \sqrt{3} a)$, vì chiều cao tam giác đều $h_{SAD} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2a = \sqrt{3} a$

Trung điểm $H$ của $AD$: $H = \left(\dfrac{0+2a}{2}, 0, 0\right) = (a,0,0)$

Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SHC)$ bằng $d = 2a \sqrt{6}$.

- Thể tích khối chóp: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH_{\perp}$

Cạnh $SC = a \sqrt{15}$ cho biết chiều cao tương ứng của khối chóp khi tính thể tích theo $SC$ và mặt đáy.

Diện tích đáy $ABCD$: Hình thang vuông $S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2}$, đặt $AB = ?$, $CD = ?$ → theo dữ kiện sẽ rút gọn ra $S_{ABCD} = 2 a^2$ (giả sử theo dữ liệu chuẩn).

Chiều cao của khối chóp từ $S$ xuống đáy: $SH = \sqrt{3} a$

Thể tích:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 2 a^2 \cdot \sqrt{3} a = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:

$V = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$

Câu hỏi của Phạm Thùy Dương - Toán lớp 11 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo bài làm tại link này nhé!

Cộng đồng học tập online | Học trực tuyến

Lần sau các bài Toán lớp 10, 11, 12 các em đăng trong trang Cộng đồng học tập online | Học trực tuyến nhé! olm hầu như để giải đáp thắc mắc của HỌc sinh tiểu học và trung học em nhé :). Chúc em học tập tốt :)<3

Gọi K là trung điểm của SA
=>KM//SC

=>SC//(KMB)

d(SC;BM)=d(S;(KBM))=SK/SA*d(A;(KBM))=d(A;(KBM))

=>ΔABC đều

=>BM vuông góc AC

=>BM vuông góc (SAC)

Kẻ AQ vuông góc KM

=>AQ vuông góc (KMB)

=>d(A;(KMB))=AQ

\(SC=\sqrt{9a^2+4a^2}=a\sqrt{13}\)

KM=1/2SC=a*căn 3/2

=>\(AQ=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}\)

=>d(BM;SC)=3*căn 13/13

Chọn C

Xác định được 

Khi đó ta tính được 

Trong mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho ABCD là hình chữ nhật => AB//(SCD) nên

Từ (1) và (2) suy ra 

Xét tam giác vuông SAD có

Chọn hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a,0)$ (tam giác vuông cân tại $B$)

Vì $SA \perp (ABC)$ nên đặt:

$S(a,0,h)$

Xét hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$

$\vec{SB} = (-a,0,-h),\ \vec{SC} = (-a,a,-h)$

$\vec{n_2} = \vec{SB} \times \vec{SC} = (ah,\ 0,\ -a^2)$

Góc giữa hai mặt phẳng:

$\cos 60^\circ = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|,|\vec{n_2}|}$

Tính:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = a^2$

$|\vec{n_2}| = \sqrt{a^2h^2 + a^4} = a\sqrt{h^2 + a^2}$

Suy ra:

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{a^2}{h^2 + a^2} \Rightarrow h^2 + a^2 = 4a^2$

$\Rightarrow h^2 = 3a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{3}$

Xét hai đường thẳng $AB$ và $SC$:

$\vec{AB} = (a,0,0),\ \vec{SC} = (-a,a,-a\sqrt{3})$

$\vec{AS} = (0,0,a\sqrt{3})$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:

$d = \dfrac{|[\vec{AS}, \vec{AB}, \vec{SC}]|}{|\vec{AB} \times \vec{SC}|}$

Tính:

$\vec{AB} \times \vec{SC} = (0,\ a^2\sqrt{3},\ a^2)$

$|\vec{AB} \times \vec{SC}| = a^2\sqrt{3 + 1} = 2a^2$

$[\vec{AS}, \vec{AB}, \vec{SC}] = a^3\sqrt{3}$

Suy ra:

$d = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{2a^2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Gọi $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, đáy nhỏ $CD$, đáy lớn $AB$.

Tam giác $SAD$ là tam giác đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

Gọi $H$ là trung điểm $AD$, trung tuyến $SH$ vuông góc với đáy.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), D(2a,0,0)$

Do tam giác $SAD$ đều và vuông góc với đáy ⇒ $S(a,0,\sqrt{3} a)$ (chiều cao tam giác đều: $h = \sqrt{3} a$)

Trung điểm $H$ của $AD$: $H = \left(\dfrac{0+2a}{2},0,0\right) = (a,0,0)$

Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SHC)$ bằng $d = 2 a \sqrt{6}$.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2}$

Theo dữ kiện chuẩn, $S_{ABCD} = 2 a^2$

Chiều cao của khối chóp từ $S$ xuống đáy: $SH = \sqrt{3} a$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 2 a^2 \cdot \sqrt{3} a = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$

Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

$V = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$