a: Để hàm số y=(2m+1)x-2 đồng biến thì 2m+1>0

=>2m>-1

=>\(m>-\frac12\)

b: y=(2m+1)x-2

=>(2m+1)x-y-2=0

Khoảng cách từ O đến (d) là:

d(O;(d))=\(\frac{\left|0\cdot\left(2m+1_{}\right)+0\cdot\left(-1\right)-2\right|}{\sqrt{\left(2m+1\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{2}{\sqrt{\left(2m+1\right)^2+1}}\)

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\sqrt2\)

=>\(\frac{2}{\sqrt{\left(2m+1\right)^2+1}}=\sqrt2\)

=>\(\sqrt{\left(2m+1\right)^2+1}=\sqrt2\)

=>\(\left(2m+1\right)^2+1=2\)

=>\(\left(2m+1\right)^2=1\)

=>\(\left[\begin{array}{l}2m+1=1\\ 2m+1=-1\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}2m=0\\ 2m=-2\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m=0\\ m=-1\end{array}\right.\)

c: Tọa độ A là:

\(\begin{cases}y=0\\ \left(2m+1\right)x-2=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ x\left(2m+1\right)=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ x=\frac{2}{2m+1}\end{cases}\)

=>\(OA=\sqrt{\left(\frac{2}{2m+1}-0\right)^2+\left(0-0\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{2}{2m+1}\right)^2}=\frac{2}{\left|2m+1\right|}\)

Tọa độ B là:

\(\begin{cases}x=0\\ y=\left(2m+1\right)\cdot0-2=-2\end{cases}\)

=>B(0;-2)

=>\(OB=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(-2-0\right)^2}=2\)

ΔOAB vuông tại O

=>\(S_{OAB}=\frac12\cdot OA\cdot OB=\frac12\cdot2\cdot\frac{2}{\left|2m+1\right|}=\frac{2}{\left|2m+1\right|}\)

\(S_{OAB}=\frac12\)

=>\(\frac{2}{\left|2m+1\right|}=\frac12\)

=>|2m+1|=4

=>\(\left[\begin{array}{l}2m+1=4\\ 2m+1=-4\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}2m=3\\ 2m=-5\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m=\frac32\\ m=-\frac52\end{array}\right.\)

a: Để hàm số y=(2m+1)x-2 đồng biến thì 2m+1>0

=>2m>-1

=>\(m>-\frac12\)

b: y=(2m+1)x-2

=>(2m+1)x-y-2=0

Khoảng cách từ O đến (d) là:

d(O;(d))=\(\frac{\left|0\cdot\left(2m+1_{}\right)+0\cdot\left(-1\right)-2\right|}{\sqrt{\left(2m+1\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{2}{\sqrt{\left(2m+1\right)^2+1}}\)

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\sqrt2\)

=>\(\frac{2}{\sqrt{\left(2m+1\right)^2+1}}=\sqrt2\)

=>\(\sqrt{\left(2m+1\right)^2+1}=\sqrt2\)

=>\(\left(2m+1\right)^2+1=2\)

=>\(\left(2m+1\right)^2=1\)

=>\(\left[\begin{array}{l}2m+1=1\\ 2m+1=-1\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}2m=0\\ 2m=-2\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m=0\\ m=-1\end{array}\right.\)

c: Tọa độ A là:

\(\begin{cases}y=0\\ \left(2m+1\right)x-2=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ x\left(2m+1\right)=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ x=\frac{2}{2m+1}\end{cases}\)

=>\(OA=\sqrt{\left(\frac{2}{2m+1}-0\right)^2+\left(0-0\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{2}{2m+1}\right)^2}=\frac{2}{\left|2m+1\right|}\)

Tọa độ B là:

\(\begin{cases}x=0\\ y=\left(2m+1\right)\cdot0-2=-2\end{cases}\)

=>B(0;-2)

=>\(OB=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(-2-0\right)^2}=2\)

ΔOAB vuông tại O

=>\(S_{OAB}=\frac12\cdot OA\cdot OB=\frac12\cdot2\cdot\frac{2}{\left|2m+1\right|}=\frac{2}{\left|2m+1\right|}\)

\(S_{OAB}=\frac12\)

=>\(\frac{2}{\left|2m+1\right|}=\frac12\)

=>|2m+1|=4

=>\(\left[\begin{array}{l}2m+1=4\\ 2m+1=-4\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}2m=3\\ 2m=-5\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m=\frac32\\ m=-\frac52\end{array}\right.\)

a: Để hàm số y=(2m+1)x-2 đồng biến thì 2m+1>0

=>2m>-1

=>\(m>-\frac12\)

b: y=(2m+1)x-2

=>(2m+1)x-y-2=0

Khoảng cách từ O đến (d) là:

d(O;(d))=\(\frac{\left|0\cdot\left(2m+1_{}\right)+0\cdot\left(-1\right)-2\right|}{\sqrt{\left(2m+1\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{2}{\sqrt{\left(2m+1\right)^2+1}}\)

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\sqrt2\)

=>\(\frac{2}{\sqrt{\left(2m+1\right)^2+1}}=\sqrt2\)

=>\(\sqrt{\left(2m+1\right)^2+1}=\sqrt2\)

=>\(\left(2m+1\right)^2+1=2\)

=>\(\left(2m+1\right)^2=1\)

=>\(\left[\begin{array}{l}2m+1=1\\ 2m+1=-1\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}2m=0\\ 2m=-2\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m=0\\ m=-1\end{array}\right.\)

c: Tọa độ A là:

\(\begin{cases}y=0\\ \left(2m+1\right)x-2=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ x\left(2m+1\right)=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ x=\frac{2}{2m+1}\end{cases}\)

=>\(OA=\sqrt{\left(\frac{2}{2m+1}-0\right)^2+\left(0-0\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{2}{2m+1}\right)^2}=\frac{2}{\left|2m+1\right|}\)

Tọa độ B là:

\(\begin{cases}x=0\\ y=\left(2m+1\right)\cdot0-2=-2\end{cases}\)

=>B(0;-2)

=>\(OB=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(-2-0\right)^2}=2\)

ΔOAB vuông tại O

=>\(S_{OAB}=\frac12\cdot OA\cdot OB=\frac12\cdot2\cdot\frac{2}{\left|2m+1\right|}=\frac{2}{\left|2m+1\right|}\)

\(S_{OAB}=\frac12\)

=>\(\frac{2}{\left|2m+1\right|}=\frac12\)

=>|2m+1|=4

=>\(\left[\begin{array}{l}2m+1=4\\ 2m+1=-4\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}2m=3\\ 2m=-5\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m=\frac32\\ m=-\frac52\end{array}\right.\)

a: Để hàm số y=(2m+1)x-2 đồng biến thì 2m+1>0

=>2m>-1

=>\(m>-\frac12\)

b: y=(2m+1)x-2

=>(2m+1)x-y-2=0

Khoảng cách từ O đến (d) là:

d(O;(d))=\(\frac{\left|0\cdot\left(2m+1_{}\right)+0\cdot\left(-1\right)-2\right|}{\sqrt{\left(2m+1\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{2}{\sqrt{\left(2m+1\right)^2+1}}\)

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\sqrt2\)

=>\(\frac{2}{\sqrt{\left(2m+1\right)^2+1}}=\sqrt2\)

=>\(\sqrt{\left(2m+1\right)^2+1}=\sqrt2\)

=>\(\left(2m+1\right)^2+1=2\)

=>\(\left(2m+1\right)^2=1\)

=>\(\left[\begin{array}{l}2m+1=1\\ 2m+1=-1\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}2m=0\\ 2m=-2\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m=0\\ m=-1\end{array}\right.\)

c: Tọa độ A là:

\(\begin{cases}y=0\\ \left(2m+1\right)x-2=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ x\left(2m+1\right)=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0\\ x=\frac{2}{2m+1}\end{cases}\)

=>\(OA=\sqrt{\left(\frac{2}{2m+1}-0\right)^2+\left(0-0\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{2}{2m+1}\right)^2}=\frac{2}{\left|2m+1\right|}\)

Tọa độ B là:

\(\begin{cases}x=0\\ y=\left(2m+1\right)\cdot0-2=-2\end{cases}\)

=>B(0;-2)

=>\(OB=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(-2-0\right)^2}=2\)

ΔOAB vuông tại O

=>\(S_{OAB}=\frac12\cdot OA\cdot OB=\frac12\cdot2\cdot\frac{2}{\left|2m+1\right|}=\frac{2}{\left|2m+1\right|}\)

\(S_{OAB}=\frac12\)

=>\(\frac{2}{\left|2m+1\right|}=\frac12\)

=>|2m+1|=4

=>\(\left[\begin{array}{l}2m+1=4\\ 2m+1=-4\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}2m=3\\ 2m=-5\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m=\frac32\\ m=-\frac52\end{array}\right.\)

a. Hàm đồng biến \(\Leftrightarrow2m+1>0\Rightarrow m>-\dfrac{1}{2}\)

b. Do A thuộc Ox \(\Rightarrow y_A=0\Rightarrow\left(2m+1\right)x_A-2=0\Rightarrow x_A=\dfrac{2}{2m+1}\)

\(\Rightarrow A\left(\dfrac{2}{2m+1};0\right)\) \(\Rightarrow OA=\left|x_A\right|=\left|\dfrac{2}{2m+1}\right|\)

Do B thuộc Oy \(\Rightarrow x_B=0\Rightarrow y_B=\left(2m+1\right).0-2=-2\Rightarrow B\left(0;-2\right)\)

\(\Rightarrow OB=\left|y_B\right|=2\)

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống d \(\Rightarrow OH=\sqrt{2}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB với đường cao OH:
\(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}=\dfrac{\left(2m+1\right)^2}{4}+\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\left(2m+1\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-1\end{matrix}\right.\)

c.

\(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}OA.OB=\dfrac{1}{2}\left|\dfrac{2}{2m+1}\right|.2=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left|2m+1\right|=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{3}{2}\\m=-\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

Gợi ý :

a) y = 2 => x = 2 hoặc -2 ( do có thể < 0 hay > 0 )

b) S(OAB) = 1 => |x| = 1 => x = 1 hoặc -1

c) Gọi khoảng cách từ O tới (d) là OH

OH bé hơn hoặc bằng khoảng cách 2 của O tới điểm cố định trên Oy

=> max = 2 khi d song^2 Ox => x = 0 => đúng mọi m

d)  Thay vào biểu thức hệ thức lượng => khoảng cách từ O tới điểm mà d cắt trên Ox là 0 => d trùng Oy

e) thay x vào có kết quả

f) cắt tại điểm > 2 => biểu thức biểu diễn x > 2 ( -2/(m+3)   )

PT giao Ox, Oy là: 

\(y=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{2m+1}\Leftrightarrow A\left(\dfrac{2}{2m+1};0\right)\Leftrightarrow OA=\dfrac{2}{\left|2m+1\right|}\\ x=0\Leftrightarrow y=-2\Leftrightarrow B\left(0;-2\right)\Leftrightarrow OB=2\)

\(a,\) Gọi H là chân đường cao từ O đến (d) \(\Leftrightarrow OH=\sqrt{2}\)

Ap dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}=\dfrac{\left(2m+1\right)^2}{4}+\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(2m+1\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow4m^2+4m+1=1\\ \Leftrightarrow4m\left(m+1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-1\end{matrix}\right.\)

\(b,S_{AOB}=\dfrac{1}{2}OA\cdot OB=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow OB\cdot OA=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{2}{\left|2m+1\right|}\cdot2=1\Leftrightarrow\left|2m+1\right|=4\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2m+1=4\\2m+1=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{3}{2}\\m=-\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài: \(\left\{{}\begin{matrix}A\in Ox\\B\in Oy\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(x_A;0\right)\\B\left(0;y_B\right)\end{matrix}\right.\).

Thay vào phương trình đường thẳng \(\left(d\right)\) ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}0=\left(2m+1\right)x_A-2\\y_B=\left(2m+1\right)\cdot0-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_A=\dfrac{2}{2m+1}\\y_B=-2\end{matrix}\right.\).

Do đó: \(\left\{{}\begin{matrix}OA=\left|x_A\right|=\dfrac{2}{\left|2m+1\right|}\\OB=\left|y_B\right|=\left|-2\right|=2\end{matrix}\right.\)

\(\Delta OAB\left(\hat{O}=90^o\right)\) có: \(S=\dfrac{1}{2}OA\cdot OB=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow OA\cdot OB=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{\left|2m+1\right|}\cdot2=1\Leftrightarrow\left|2m+1\right|=4\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2m+1=4\\2m+1=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{3}{2}\left(TM\right)\\m=-\dfrac{5}{2}\left(TM\right)\end{matrix}\right.\).