Do C đối xứng A qua B nên B là trung điểm AC

Áp dụng công thức trung điểm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_B=\frac{x_A+x_C}{2}\\y_B=\frac{y_A+y_C}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=2x_B-x_A=7\\y_C=2y_B-y_A=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(7;2\right)\)

\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{DC}\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right|=3\left|\overrightarrow{DC}\right|=3a\)

Câu c cần biểu diễn vecto DE theo 2 vecto nào bạn?

Áp dụng định lý phân giác: \(\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}\Rightarrow BD=\frac{2}{3}CD\)

Mặt khác \(BD+CD=BC=5\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BD=2\\CD=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{DC}=-\frac{3}{5}\overrightarrow{CB}\)

Tương tự ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{AE}{AB}=\frac{EC}{BC}\Rightarrow AE=\frac{4}{5}EC\\AE+EC=AC=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\frac{9}{5}EC=AC\Rightarrow EC=\frac{5}{9}AC\Rightarrow\overrightarrow{CE}=\frac{5}{9}\overrightarrow{CA}\)

\(\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}=-\frac{3}{5}\overrightarrow{CB}+\frac{5}{9}\overrightarrow{CA}\)

Bài 1: 

Gọi M là trung điểm của AD

\(BM=\sqrt{AB^2+AM^2}=\sqrt{4a^2+\dfrac{1}{4}a^2}=\dfrac{\sqrt{17}}{2}a\)

\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DB}\right|=2\cdot BM=\sqrt{17}a\)

a: Xét ΔKAB có KI là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}=2\cdot\overrightarrow{KI}\)

Xét ΔKCD có KJ là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{KD}=2\cdot\overrightarrow{KJ}\)

\(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{KD}\)

\(=2\left(\overrightarrow{KI}+\overrightarrow{KJ}\right)=2\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)

b: ABCD là hình thoi

=>\(\hat{BAD}+\hat{ABC}=180^0\)

=>\(\hat{ABC}=180^0-60^0=120^0\)

Xét ΔBAC có \(cosABC=\frac{BA^2+BC^2-AC^2}{2\cdot BA\cdot BC}\)

=>\(\frac{a^2+a^2-AC^2}{2\cdot a\cdot a}=cos120=-\frac12\)

=>\(2a^2-AC^2=-a^2\)

=>\(AC^2=3a^2\)

=>\(AC=a\sqrt3\)

ABCD là hình thoi

=>\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=a\sqrt3\)