Câu 3: 

\(\Leftrightarrow3x^3-2x^2+6x^2-4x+9x-6>0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-2\right)\left(x^2+2x+3\right)>0\)

=>3x-2>0

=>x>2/3

Câu 1: 

a: \(A=x-2+\dfrac{6x-3}{x\left(x+2\right)}+\left(\dfrac{x+1+2x-2}{\left(x^2-1\right)}-\dfrac{3}{x}\right)\cdot\dfrac{x^2-1}{x+2}\)

\(=x-2+\dfrac{6x-3}{x\left(x+2\right)}+\left(\dfrac{3x-1}{x^2-1}-\dfrac{3}{x}\right)\cdot\dfrac{x^2-1}{x+2}\)

\(=x-2+\dfrac{6x-3}{x\left(x+2\right)}+\dfrac{3x^2-x-3x^2+3}{x\left(x^2-1\right)}\cdot\dfrac{x^2-1}{x+2}\)

\(=x-2+\dfrac{6x-3}{x\left(x+2\right)}+\dfrac{-\left(x-3\right)}{x\left(x+2\right)}\)

\(=x-2+\dfrac{6x-3-x^2+3x}{x\left(x+2\right)}\)

\(=x-2+\dfrac{-x^2+9x-3}{x\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{x\left(x^2-4\right)-x^2+9x-3}{x\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{x^3-4x-x^2+9x-3}{x\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{x^3-x^2+5x-3}{x\left(x+2\right)}\)

b: TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x^3-x^2+5x-3>0\\x\left(x+2\right)< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2< x< 2\\x>0.63\end{matrix}\right.\Leftrightarrow0.63< x< 2\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x^3-x^2+5x-3< 0\\x\left(x+2\right)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 0.63\\\left[{}\begin{matrix}x>0\\x< -2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}0< x< 0.63\\x< -2\end{matrix}\right.\)

5. phân tích ra : \(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1\)

áp dụng bđ cosy

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)

=> đpcm

6. \(x^2-x+1=x^2-2.\dfrac{1}{2}.x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)

hay với mọi x thuộc R đều là nghiệm của bpt

7.áp dụng bđt cosy

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\sqrt{a^2.b^2.c^2.d^2}=4abcd\left(đpcm\right)\)

1. (a-b)²>=0

=> a²+b²-2ab>=0

2. (a-b)²>=0

=> a²+b²>=2ab

=> \(\dfrac{a^2 +b^2}{2}\ge ab\)

3.Ta phích ra thôi,ta được : a²+2a < a²+2a+1

=> cauis trên đúng

Bài 3:

a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\) \(\geq 2.\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}=\frac{8}{(x+y)^2}=8\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

b) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{2xy}+\left (\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\geq \frac{1}{2xy}+\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}\)

\(=\frac{1}{2xy}+\frac{4}{(x+y)^2}\)

Theo BĐT AM-GM:

\(xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{2xy}\geq 2\)

Do đó \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\geq 2+4=6\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Bài 1: Thiếu đề.

Bài 2: Sai đề, thử với \(x=\frac{1}{6}\)

Bài 4 a) Sai đề với \(x<0\)

b) Áp dụng BĐT AM-GM:

\(x^4-x+\frac{1}{2}=\left (x^4+\frac{1}{4}\right)-x+\frac{1}{4}\geq x^2-x+\frac{1}{4}=(x-\frac{1}{2})^2\geq 0\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x^4=\frac{1}{4}\\ x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (vô lý)

Do đó dấu bằng không xảy ra , nên \(x^4-x+\frac{1}{2}>0\)

Bài 6: Áp dụng BĐT AM-GM cho $6$ số:

\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\geq 6\sqrt[6]{a^3b^3c^3d^3}=6\)

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)

5) a) Đặt b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z thì 2a=y+z;2b=x+z;2c=x+y

Ta có:

\(\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}=\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\ge6\)

Vậy ta suy ra đpcm

b) Ta có: a+b>c;b+c>a;a+c>b

Xét: \(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{b+c+a}=\dfrac{2}{a+b+c}>\dfrac{2}{a+b+a+b}=\dfrac{1}{a+b}\)

.Tương tự:

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}>\dfrac{1}{b+c};\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+c}\)

Vậy ta có đpcm

6) Ta có:

\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge2ab+2cd+ab+cd=3\left(ab+cd\right)\)

\(ab+cd=ab+\dfrac{1}{ab}\ge2\)

Suy ra đpcm

a, \(\dfrac{x^2-x}{x-2}+\dfrac{4-3x}{x-2}\)

\(=\dfrac{x^2-x+4-3x}{x-2}=\dfrac{x^2-4x+4}{x-2}\)

c) \(\dfrac{2}{x^2-9}+\dfrac{1}{x+3}\)

Ta có: \(\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{1\left(x-3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}=\dfrac{x-3}{x^2-9}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{x^2-9}+\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{2}{x^2-9}+\dfrac{x-3}{x^2-9}=\dfrac{2+x-3}{x^2-9}=\dfrac{x-1}{x^2-9}\)

Giúp mình nhé mọi người !

\(1.\)

\(a.\)

\(\dfrac{8}{\left(x^2+3\right)\left(x^2-1\right)}+\dfrac{2}{x^2+3}+\dfrac{1}{x+1}\)

\(=\dfrac{8}{\left(x^2+3\right)\left(x^2-1\right)}+\dfrac{2\left(x^2-1\right)}{\left(x^2+3\right)\left(x^2-1\right)}+\dfrac{1\left(x-1\right)\left(x^2+3\right)}{\left(x^2-1\right)\left(x^2+3\right)}\)

\(=\dfrac{8}{\left(x^2+3\right)\left(x^2-1\right)}+\dfrac{2x^2-2}{\left(x^2+3\right)\left(x^2-1\right)}+\dfrac{x^3-x^2+3x-3}{\left(x^2-1\right)\left(x^2+3\right)}\)

\(=\dfrac{8+2x^2-2+x^3-x^2+3x-3}{\left(x^2+3\right)\left(x^2-1\right)}\)

\(=\dfrac{x^3+x^2+3x+3}{\left(x^2+3\right)\left(x^2-1\right)}\)

\(=\dfrac{x^2\left(x+1\right)+3\left(x+1\right)}{\left(x^2+3\right)\left(x^2-1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x^2+3\right)\left(x+1\right)}{\left(x^2+3\right)\left(x^2-1\right)}\)

\(=x-1\)

\(b.\)

\(\dfrac{x+y}{2\left(x-y\right)}-\dfrac{x-y}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{2y^2}{x^2-y^2}\)

\(=\dfrac{x+y}{2\left(x-y\right)}-\dfrac{x-y}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{2y^2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2\left(x^2-y^2\right)}-\dfrac{\left(x-y\right)^2}{2\left(x^2-y^2\right)}+\dfrac{4y^2}{2\left(x^2-y^2\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+2xy+y^2}{2\left(x^2-y^2\right)}-\dfrac{x^2-2xy+y^2}{2\left(x^2-y^2\right)}+\dfrac{4y^2}{2\left(x^2-y^2\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2+4y^2}{2\left(x^2-y^2\right)}\)

\(=\dfrac{4xy+4y^2}{2\left(x^2-y^2\right)}\)

\(=\dfrac{4y\left(x+y\right)}{2\left(x^2-y^2\right)}\)

\(=\dfrac{2y}{\left(x-y\right)}\)

Tương tự các câu còn lại

Bài 1:

(a)

Vì $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác nên theo BĐT tam giác ta có:

\(\left\{\begin{matrix} a+b>c\\ b+c>a\\ c+a>b\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c(a+b)>c^2\\ a(b+c)>a^2\\ b(c+a)>b^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow c(a+b)+a(b+c)+b(c+a)> c^2+a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)> a^2+b^2+c^2\)

Ta có đpcm.

(2): Bài này có nhiều cách giải. Nhưng mình xin đưa ra cách làm thuần túy Cô-si nhất.

Đặt

\((a+b-c, b+c-a, c+a-b)=(x,y,z)\Rightarrow (a,b,c)=(\frac{x+z}{2}; \frac{x+y}{2}; \frac{y+z}{2})\)

Khi đó:

\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}=\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}+\frac{y+z}{2x}\)

\(=\frac{x}{2y}+\frac{z}{2y}+\frac{x}{2z}+\frac{y}{2z}+\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}\geq 6\sqrt[6]{\frac{1}{2^6}}=3\) (áp dụng BĐT Cô-si)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c$

(c):

Theo BĐT tam giác:

\(b+c>a\Rightarrow 2(b+c)> b+c+a\Rightarrow b+c> \frac{a+b+c}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)

Hoàn toàn tương tự với những phân thức còn lại và cộng theo vế:

\(\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2\)

Ta có đpcm.

Bài 2:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:

\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\geq 6\sqrt[6]{a^2.b^2.c^2.d^2.ab.cd}=6\sqrt[6]{(abcd)^3}=6\sqrt[6]{1^3}=6\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} a^2=b^2=c^2=d^2=ab=cd\\ abcd=1\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=c=d=1\)

Mấy bài này đăng nhiều rồi bạn ;v

Bài 1: Nhân cả 2 vế cho a+b+c rồi rút gọn được đpcm

Bài 2: Thêm 1 rồi bớt 1 :v (x+y+xy+1-1)