Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(9=x+y+xy+1=(x+1)(y+1)\leq \left(\frac{x+y+2}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow 4\leq x+y\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

\(x^3+4x\geq 4x^2; y^3+4y\geq 4y^2\)

\(\frac{x}{4}+\frac{1}{x}\geq 1; \frac{y}{4}+\frac{1}{y}\geq 1\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+x^2+y^2+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 5(x^2+y^2)+\frac{3}{4}(x+y)+2\)

Mà:

\(5(x^2+y^2)\geq 5.\frac{(x+y)^2}{2}\geq 5.\frac{4^2}{2}=40\)

\(\frac{3}{4}(x+y)\geq \frac{3}{4}.4=3\)

\(\Rightarrow A= x^3+y^3+x^2+y^2+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 40+3+2=45\)

Vậy \(A_{\min}=45\Leftrightarrow x=y=2\)

Bài 2:

\(B=\frac{a^2}{a-1}+\frac{2b^2}{b-1}+\frac{3c^2}{c-1}\)

\(B-24=\frac{a^2}{a-1}-4+\frac{2b^2}{b-1}-8+\frac{3c^2}{c-1}-12\)

\(=\frac{a^2-4a+4}{a-1}+\frac{2(b^2-4b+4)}{b-1}+\frac{3(c^2-4c+4)}{c-1}\)

\(=\frac{(a-2)^2}{a-1}+\frac{2(b-2)^2}{b-1}+\frac{3(c-2)^2}{c-1}\geq 0, \forall a,b,c>1\)

\(\Rightarrow B\geq 24\)

Vậy \(B_{\min}=24\Leftrightarrow a=b=c=2\)

Bài 3:
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:

\(4=2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=x^2+x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}\geq 4\sqrt[4]{\frac{x^2y^2}{4}}\)

\(\Rightarrow 4\geq x^2y^2\Rightarrow 2\geq xy\geq -2\)

Ta thấy khi $xy$ càng tiến về $0$ và dương thì $C=\frac{1}{xy}$ càng lớn. Do đó $C=\frac{1}{xy}$ không có GTLN.

Bài 4:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(D=\frac{(\frac{a^2}{b})^2}{c+2}+\frac{(\frac{b^2}{c})^2}{a+2}+\frac{(\frac{c^2}{a})^2}{b+2}\geq \frac{\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)^2}{c+2+a+2+b+2}\)

Và: \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{b+c+a}=a+b+c\)

\(\Rightarrow D\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+6}(*)\)

Mà:

\(\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c+6}-1=\frac{(a+b+c)^2-(a+b+c)-6}{a+b+c+6}=\frac{(a+b+c-3)(a+b+c+2)}{a+b+c+6}\geq 0, \forall a+b+c\geq 3\)

\(\Rightarrow \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+6}\geq 1(**)\)

Từ \((*); (**)\Rightarrow D\geq 1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$.

Bài 5:

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:

\(a^2+\sqrt{a}+\sqrt{a}\geq 3a\)

\(b^2+\sqrt{b}+\sqrt{b}\geq 3b\)

\(c^2+\sqrt{c}+\sqrt{c}\geq 3c\)

\(\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 3(a+b+c)(1)\)

Vì \(0< a,b,c\leq 1\Rightarrow 0< a+b+c\leq 3\)

\(\Rightarrow 3(a+b+c)\geq (a+b+c)^2(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq (a+b+c)^2\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ac\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$.

Bài 7:

Vì $x+y+z=1$ nên:

\(\text{VT}=\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}=\sqrt{x(x+y+z)+yz}+\sqrt{y(x+y+z)+xz}+\sqrt{z(x+y+z)+xy}\)

\(=\sqrt{(x+y)(x+z)}+\sqrt{(y+z)(y+x)}+\sqrt{(z+x)(z+y)}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((x+y)(x+z)=(x+y)(z+x)\geq (x+\sqrt{yz})^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{(x+y)(x+z)}\geq x+\sqrt{yz}\)

Hoàn toàn tương tự với các biểu thức còn lại: \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{(y+z)(y+x)}\geq y+\sqrt{xz}\\ \sqrt{(z+x)(z+y)}\geq z+\sqrt{xy}\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế những BĐT vừa thu được:

\(\Rightarrow \text{VT}\geq x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Bài 10:

Để pt có thể có 2 nghiệm thì trước tiên $m\neq 0$

Với $m\neq 0$: \(\Delta=(5m-2)^2-4m(6m-5)=m^2+4>0\) nên pt luôn có 2 nghiệm.

2 nghiệm này $(x_1,x_2)$ là nghịch đảo của nhau

\(\Leftrightarrow x_1x_2=1\Leftrightarrow \frac{6m-5}{m}=1\Leftrightarrow m=1\) (t/m)

Vậy..........

lâu lâu mần 1 câu để thư dản ;

câu 6 : ta có : \(x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y\)

\(\Leftrightarrow x+y=3\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=9\left(x+y+3+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(y+2\right)}\right)\)

\(\Leftrightarrow9\left(x+y\right)=\left(x+y\right)^2-27-18\sqrt{\left(x+1\right)\left(y+2\right)}\)

\(\ge\left(x+y\right)^2-27-9\left(x+y+3\right)\ge\left(x+y\right)^2-9\left(x+y\right)-54\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-18\left(x+y\right)-54\le0\)

\(\Leftrightarrow9-3\sqrt{15}\le x+y\le9+3\sqrt{15}\)

bạn là người có thể tìm hiểu được đống đề này thì chắc làm thế này bn sẽ hiểu :)

13)Ta có:\(\sqrt{2015a+1}+\sqrt{2015b+1}+\sqrt{2015c+1}\le\sqrt{\left(2015a+1+2015b+1+2015c+1\right)\left(1+1+1\right)}\)

\(\Rightarrow VT\le\sqrt{2018.3}< \sqrt{2028.3}=78\)

=>đpcm

Câu 8:

Áp dụng BĐT AM-GM: \((y+z)^2\leq 2(y^2+z^2)\Rightarrow y+z\leq \sqrt{2(y^2+z^2)}\)

\(\Rightarrow \frac{x^2}{y+z}\geq \frac{x^2}{\sqrt{2(y^2+z^2)}}\)

Hoàn toàn TT với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

\(P\geq \frac{x^2}{\sqrt{2(y^2+z^2)}}+\frac{y^2}{\sqrt{2(x^2+z^2)}}+\frac{z^2}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}\)

Đặt \((\sqrt{x^2+y^2}, \sqrt{y^2+z^2}, \sqrt{z^2+x^2})=(a,b,c)\). Bài toán trở thành:

Cho $a,b,c>0$ sao cho $a+b+c=2015$. Tìm min:

\(P=\frac{a^2+c^2-b^2}{2\sqrt{2}b}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2\sqrt{2}a}+\frac{b^2+a^2-c^2}{2\sqrt{2}c}\)

Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(P=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{b}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{a}+\frac{b^2}{c}+\frac{a^2}{c}\right)-\frac{1}{2\sqrt{2}}(b+a+c)\)

\(\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}.\frac{(a+c+b+c+b+a)^2}{2(a+b+c)}-\frac{1}{2\sqrt{2}}(a+b+c)=\frac{\sqrt{2}}{4}(a+b+c)=\frac{2015\sqrt{2}}{4}\)

Vậy..........

Bạn nhầm rồi. BĐT \(\sqrt{a^2+d^2}\leq \sqrt{a^2}+\sqrt{d^2}\) có dấu "=" khi $a$ hoặc $d$ bằng $0$. Vì $a,b,c$ đều dương nên sử dụng không khả thi.

Bài 12:

Vì \(a_1\geq -1\Rightarrow (a_1+1)(2a_1-1)^2\geq 0\)

\(\Leftrightarrow 4a_1^3-3a_1+1\geq 0\)

\(\Leftrightarrow a_1\leq \frac{1}{3}(4a_1^3+1)\)

Hoàn toàn tương tự với \(a_2,....,a_9\) và cộng theo vế:

\(\Rightarrow a_1+a_2+....+a_9\leq \frac{1}{3}\left[(a_1^3+a_2^3+..+a_9^3)+9\right]\)

\(\Leftrightarrow Q\leq 3\)

Vậy \(Q_{\max}=3\). Dấu "=" xảy ra khi \((a_1,a_2,....,a_9)=(-1,\frac{1}{2}, \frac{1}{2},..., \frac{1}{2})\) và hoán vị.

Bài 9:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\((x+y-1)^2=xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow (2x+2y-2)^2\leq (x+y)^2\)

\(\Leftrightarrow (x+y-2)(3x+3y-2)\leq 0\Rightarrow \frac{2}{3}\leq x+y\leq 2(1)\)

\(2\geq x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq 1(2)\)

Từ $(1);(2)$:

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz:

\(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\geq \frac{4}{(x+y)^2}\geq \frac{4}{2^2}=1\)

Áp dụng BĐT AM-GM: \(\frac{1}{2xy}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{xy}(x+y)}}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2.1.2}}=1\)

Cộng theo vế:

\(\Rightarrow M=\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}\geq 2\)

Vậy \(M_{\min}=2\Leftrightarrow x=y=1\)

Câu 11: Mình nghĩ sai đề. $x,y$ không âm thay vì dương.

lm bài nữa thôi có j bữa sau mk lm tiếp

bài 8:

bất đẳng thức mincopxki : \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)

khi đó ta chỉ cần cho \(b=0;c=0\) thì ta sẽ có được bất đẳng thức mới

\(\sqrt{a^2}+\sqrt{d^2}\ge\sqrt{a^2+d^2}\)

áp dụng ta có : \(2015=\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}\)

\(\le2\left(x+y+z\right)\) (nó dương nên bỏ căng ko dổi dấu nhé )

\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\frac{2015}{2}\)

ta có : \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{2015}{4}\) (cauchyswarz engel)

dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2015}{3\sqrt{2}}\)

Nguyễn Thị Hằng :

Khi áp dụng AM-GM bạn đã chỉ ra được \(9\leq \left(\frac{x+y+2}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow 3\leq \frac{x+y+2}{2}\) (do \(\frac{x+y+2}{2}\) dương)

\(\Rightarrow 6\leq x+y+2\Rightarrow 4\leq x+y\)

nhiwu th3

''lâu lâu mần 1 câu để thư dản''....

Em lạy trình độ Văn của anh rồi :''<

Bn giải thích cho mk chỗ \(\Rightarrow4\le x+y\) sao lại ra thế với mk không hiểu

Mysterious Person thanks nhé.

Hóa ra nó dễ thế này!

Akai Haruma mk hiểu rồi. Thanks nhiều nhé

Akai Haruma làm giúp mk câu 11 và 12 nhé

Akai Haruma làm giúp mk câu này nhanh nhé: https://hoc24.vn/hoi-dap/question/807712.html?auto=1

Mn làm nhanh giúp mk câu 11,12 với

11 sai đề hay sao á

Akai Haruma : sơ xuất quá ! xem ra trình em còn kém xa cô rồi

không sai đâu bn ạ

đây là đề học kì mấy năm trước của tỉnh mk mà

Nguyễn Thị Hằng uk mk nhìn nhầm là max xin lỗi

dấu bằng xảy ra khi nào