1: Xét tứ giác ACBD có

AC//BD

AC=BD

=>ACBD là hbh

=>O là trung điểm chung của AB và CD

2: Xét tứ giác AEBF có

AF//BE

AF=BE

=>AEBF là hbh

=>O là trung điểm của EF

Xét ΔOAC vuông tại A và ΔOBD vuông tại B có

OA=OB

AC=BD

Do đó: ΔOAC=ΔOBD

=>\(\hat{AOC}=\hat{BOD}\)

mà \(\hat{BOD}+\hat{AOD}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AOC}+\hat{AOD}=180^0\)

=>C,O,D thẳng hàng

ΔOAC=ΔOBD

=>OC=OD

=>O là trung điểm của CD

Xét ΔOCB và ΔODA có

OC=OD

\(\hat{COB}=\hat{DOA}\) (hai góc đối đỉnh)

OB=OA

Do đó: ΔOCB=ΔODA

=>\(\hat{OCB}=\hat{ODA}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên CB//DA

Xét ΔOBE và ΔOAF có

OB=OA

\(\hat{OBE}=\hat{OAF}\) (hai góc so le trong, BE//AF)

BE=AF

Do đó ΔOBE=ΔOAF

=>\(\hat{BOE}=\hat{AOF}\)

mà \(\hat{BOE}+\hat{EOA}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AOF}+\hat{EOA}=180^0\)

=>E,O,F thẳng hàng

ΔOBE=ΔOAF

=>OE=OF

=>O là trung điểm của EF

a: Xét ΔOAC vuông tại A và ΔOBD vuông tại B có

OA=OB

AC=BD

Do đó: ΔOAC=ΔOBD

=>\(\hat{AOC}=\hat{BOD}\)

mà \(\hat{AOC}+\hat{COB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{BOD}+\hat{COB}=180^0\)

=>C,O,D thẳng hàng

ΔOAC=ΔOBD

=>OC=OD

=>O là trung điểm của CD
b:

Sửa đề: Trên AD lấy F

Xét ΔOBC và ΔOAD có

OB=OA

\(\hat{BOC}=\hat{AOD}\) (hai góc đối đỉnh)

OC=OD

Do đó: ΔOBC=ΔOAD

=>\(\hat{OBC}=\hat{OAD}\)

Xét ΔOBE và ΔOAF có

OB=OA

\(\hat{OBE}=\hat{OAF}\) (hai góc so le trong, BE//AF)

BE=AF

Do đó: ΔOBE=ΔOAF

=>\(\hat{BOE}=\hat{AOF}\)

mà \(\hat{BOE}+\hat{AOE}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AOE}+\hat{AOF}=180^0\)

=>E,O,F thẳng hàng

ΔOBE=ΔOAF

=>OE=OF
=>O là trung điểm của EF

a: Xét ΔMAC vuông tại A và ΔMBE vuông tại B có

MA=MB

\(\hat{AMC}=\hat{BME}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMAC=ΔMBE

=>AC=BE và MC=ME

Xét ΔDMC vuông tại M và ΔDME vuông tại M có

DM chung

MC=ME

Do đó: ΔDMC=ΔDME

b: ΔDMC=ΔDME

=>DC=DE

=>DC=DB+BE=DB+AC

c: ΔDMC=ΔDME

=>\(\hat{MDC}=\hat{MDE}\)

Xét ΔDHM vuông tại H và ΔDBM vuông tại B có

DM chung

\(\hat{HDM}=\hat{BDM}\)

Do đó: ΔDHM=ΔDBM

=>MH=MB

=>M nằm trên đường trung trực của BH(1)

MH=MB

MB=MA

Do đó: MH=MA

=>M nằm trên đường trung trực của HA(2)

Từ (1),(2) suy ra M là giao điểm của hai đường trung trực của HA và HB

Xét tứ giác APBQ có 

AP//BQ

AP=BQ

Do đó: APBQ là hình bình hành

Suy ra: Hai đường chéo AB và PQ cắt nhau tại trug điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của AB

nên M là trung điểm của PQ

=>P,Q,M thẳng hàng

Câu hỏi của kakemuiki - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath