Đừng hòng nha!!!  >_<

Gọi O là giao điểm 2 dường chéo AC và BD của tứ giác ABCD. 
Áp dụng định lý " trong một tam giác một cạnh thì bé hơn tổng 2 cạnh kia" ta có: 
AB < OA + OB (1) 
BC < OB + OC (2) 
CD < OC + OD (3) 
DA < OD + OA (4) 
(1) + (2) + (3) + (4) : 
AB + BC + CD + DA < 2(OA + OC + OB + OD) = 2(AC + BD) 
hay (1/2)(AB + BC + CD + DA) < AC + BD (*) 
Mặt khác : 
AC < AB + BC (1') 
BD < BC + CD (2') 
AC < CD + DA (3') 
BD < DA + AB (4') 
(1') + (2') + (3') + (4') : 
2(AC + BD) > 2(AB + BC + CD + DA) 
hay AC + BD < AB + BC + CD + DA (**) 
Từ (*) và (**) (1/2)(AB + BC + CD + DA) < AC + BD < AB + BC + CD + DA

Giả sử tứ giác ABCD có: AB=a,BC=b,CD=c,DA=d.

Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có:

AC+BD=AO+OB+OC+OD>AB+CD=a+c

Tương tự: AC+BD>b+d.

Suy ra: 2(AC+BD)>a+b+c+d⇒AC+BD=a+b+c+d2

Vậy tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

AC<a+b;AC<c+d

BD<b+c;BD<a+d

⇒2(AC+BD)<2(a+b+c+d).

⇒AC+BD<a+b+c+d.

Vậy tổng hai dường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác.

Bài 1:

Giải: Vì AB // CD

    => A + D =180^o 

    mà A = 3D => 3D + D = 180^o

                        =>  4D = 180^o

                        =>   D = 45^o   => A = 135^o

Ta có: AB // CD => B + C = 180^o

        mà B - C = 30^o  hay B = C + 30^o

=> C + 30^o + C = 180^o

=>  2C = 150^o  => C = 75^o  => B = 105^o

Bài 1:

Vì AB // CD (gt)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{A} + \widehat{D} = 180^0\) (kề bù)

mà \(\widehat{A} = 3 \widehat{D}\) (gt)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{D} = 45^0\) và \(\widehat{A} = 135^0\)

Vì AB // CD (gt)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{B} + \widehat{C} = 180^0\) (kề bù)

mà \(\widehat{B} - \widehat{C} = 30^0\) (gt)

\(\Rightarrow\)\(2 \widehat{B} = 210^0\)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{B} = 105^0\)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{C} = 75^0\)

Vậy.......

a: Xét ΔANM và ΔACB có 

AN/AC=AM/AB

\(\widehat{NAM}=\widehat{CAB}\)

Do đó: ΔANM\(\sim\)ΔACB

Suy ra: \(\widehat{ANM}=\widehat{ACB}\)

hay MN//BC

Xét tứ giác MNBC có MN//BC

nên MNBC là hình thang

mà MB=NC

nên MNBC là hình thang cân

b: Xét tứ giác ABCD có \(\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=180^0\)

nên ABCD là tứ giác nội tiếp

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD có

\(\widehat{ADB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB

\(\widehat{BDC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

mà \(sđ\stackrel\frown{AC}=sđ\stackrel\frown{BC}\)

nên \(\widehat{ADB}=\widehat{CDB}\)

hay DB là tia phân giác của góc ADC

Đề bài tóm tắt

• Tứ giác \(A B C D\) thỏa:

\(A D = B C = A B , \hat{A} + \hat{C} = 180^{\circ}\)

• Chứng minh:
  a) \(D B\) là tia phân giác của góc \(D\)
  b) Tứ giác \(A B C D\) là hình thang cân

Bước 1: Vẽ hình và nhận xét ban đầu

• Gọi tứ giác \(A B C D\) và vẽ các cạnh theo điều kiện:
  \(A D = B C = A B\)
• Ta chú ý AD = AB → tam giác \(A B D\) cân tại \(A\)
• BC = AB → tam giác \(A B C\) cân tại \(B\)
• Góc \(A + C = 180^{\circ}\) → các góc đối nhau có tổng 180°

Bước 2: Chứng minh \(D B\) là tia phân giác của góc \(D\)

1. Xét tam giác \(A B D\) cân tại \(A\):

\(A B = A D \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \hat{A} B D = \hat{A} D B\)

1. Xét tam giác \(B C D\) cân tại \(C\) (vì BC = CD? nhưng chưa biết CD) → chúng ta dùng đường chéo DB:

• Trong tam giác \(A B D\), ta gọi góc \(\hat{A} B D = \hat{A} D B = x\)
• Góc ở D của tam giác \(A B D\) bằng x, nên đường chéo \(D B\) chia góc D ra 2 phần bằng nhau
• Vậy \(D B\) là tia phân giác của góc D

Nhận xét: Đây là cách dựa vào tính chất tam giác cân: đường nối đỉnh với đáy sẽ là phân giác.

Bước 3: Chứng minh tứ giác là hình thang cân

1. Đặt AD // BC (hoặc AB // DC?) → cần chứng minh có cặp cạnh đối song song

• Ta biết \(A B = A D = B C\)
• Góc A + góc C = 180° → theo định lý về cạnh và góc đối nhau, điều này đảm bảo hai cạnh AD và BC song song

1. Để tứ giác cân → các cạnh bên bằng nhau:

\(A D = B C (đ \overset{\sim}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{cho})\)

• Từ AD // BC và AD = BC → tứ giác ABCD là hình thang cân

✅ Kết luận

• a) \(D B\) là tia phân giác của góc \(D\) vì nằm trong tam giác cân \(A B D\)
• b) Tứ giác \(A B C D\) là hình thang cân vì có cặp cạnh đối song song và hai cạnh bên bằng nhau

Mình chỉ giải c thôi nhé :) Phần a, b nếu ai muốn biết hỏi @Nấm Chanel

A B C H E F K O I

Có \(\widehat{HEA}=\widehat{BAC}=90^o\) nên \(EH\text{//}AC\) hay \(EH\text{//}FK\)

Đồng thời tứ giác \(EHFA\) có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật, tức EH = FA ( 2 cạnh đối ), mà AF = FK ( giả thiết ) nên EH = FK

Từ đó suy ra tứ giác EHKF là hình bình hành nên EK cắt HF tại trung điểm mỗi đường, hay I là trung điểm EK (1)

Đồng thời hình chữ nhật EHFA có hai đường chéo EF và AH cắt nhau tại O, nên O là trung điểm EF ( tính chất hình chữ nhật ) (2)

(1)(2)\(\Rightarrow\)OI là đường trung bình \(\Delta EKF\) , suy ra OI // FK, hay OI // AC

Vậy ...

AB = BC

=> Tam giác ABC cân B

BAC = BCA

Có BAC = DAC ( phân giác )

=> BCA = DAC

2 góc này có vị trí so le trong

AD//BC

=> tứ giác ABCD là hình thang