Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: \(=\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}\left(a-\sqrt{a}+1\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)}{1}\)
\(=a-1\)
b: \(=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{ab}}\cdot\left(\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\right)\)
\(=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{ab}}\cdot\dfrac{\sqrt{ab}+b+\sqrt{ab}-b}{\sqrt{a}\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\)
c: \(=\dfrac{a\sqrt{b}+b}{a-b}\cdot\sqrt{\dfrac{ab+b^2-2b\sqrt{ab}}{a^2+2a\sqrt{b}+b}}\cdot\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
\(=\dfrac{\sqrt{b}\left(a+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\cdot\sqrt{\dfrac{b\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(a+\sqrt{b}\right)^2}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{b}\left(a+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\cdot\dfrac{\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a+\sqrt{b}}=b\)
Câu a
\(\dfrac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}:\dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}:\dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
\(=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right):\dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{1}\)
\(=a-b\)
b)CM: \(ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2b^2}}-\sqrt{a^2b^2+1}=0\)
\(VT=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2+1}{\left(ab\right)^2}}-\sqrt{a^2b^2+1}\)
\(VT=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{ab}-\sqrt{a^2b^2+1}\)
\(VT=\sqrt{a^2b^2+1}-\sqrt{a^2b^2+1}\)
\(VT=0=VP\)
a) \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) với a>0 và b>0
b) \(\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^2}}.\sqrt{\dfrac{4m-8mx+4mx^2}{81}}=\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^2}}.\sqrt{\dfrac{4m\left(2-2x+x^2\right)}{81}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{4m^2\left(1-2x+x^2\right)}{81\left(1-2x+x^2\right)}}=\sqrt{\dfrac{4m^2}{81}}=\sqrt{\dfrac{2m}{9}}\)
\(VT=\dfrac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}:\dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}.\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=a-b\)
a/ Xét hiệu: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng) (đpcm)
''='' xảy ra khi a = b
b/ Sửa đề chút nhé: CMR:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ac}}\)
Áp dụng bđt AM-GM có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{b}}=2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\);
Tương tự ta có:
\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{bc}}\); \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ac}}\)
Cộng 2 vế ba bđt trên ta được:
\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ac}}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ac}}\left(đpcm\right)\)
''='' xảy ra khi a = b = c
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ngược dấu ta có:
\(A=\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ac}}=\frac{ab}{\sqrt{c(a+b+c)+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{a(a+b+c)+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b(a+b+c)+ac}}\)
\(=\frac{ab}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}+\frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{ca}{\sqrt{(b+a)(b+c)}}\)
\(\leq \frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{ca}{b+a}+\frac{ca}{b+c}\right)\)
\(A\leq \frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{bc+ac}{a+b}\right)=\frac{1}{2}(b+a+c)=\frac{1}{2}\)
Vậy \(A_{\max}=\frac{1}{2}\) tại \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Lời giải:
Với những bài như này em chỉ cần nắm rõ điểm rơi rồi phân tích hợp lý để áp dụng những BĐT quen thuộc là được.
Ta có:
\(P=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}=\frac{3(a+b)}{4\sqrt{ab}}+\frac{a+b}{\sqrt{4ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow 3(a+b)\geq 6\sqrt{ab}\Rightarrow \frac{3(a+b)}{4\sqrt{ab}}\geq \frac{6\sqrt{ab}}{4\sqrt{ab}}=\frac{3}{2}\)
Và:
\(\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
Do đó:
\(P=\frac{3(a+b)}{4\sqrt{ab}}+\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\geq \frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{5}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b\)
Cold Wind không cần kiểu mò mẫn (điểm rơi ) .
\(t=\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}\) quá đơn giản nhận ra \(t\ge2\)
\(P\left(t\right)=t+\dfrac{1}{t}=\dfrac{t^2+1}{t}=m\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t^2-mt+1=0\\t\ge2\end{matrix}\right.\)\(\begin{matrix}\left(1\right)\\\left(2\right)\end{matrix}\)
(1)có nghiệm<=> :\(\left\{{}\begin{matrix}m\in\left(-vc;-2\right)U\left(2;vc\right)\\t=\dfrac{m\pm\sqrt{m^2-4}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(t\ge2\Leftrightarrow\dfrac{m+\sqrt{m^2-4}}{2}\ge2\Leftrightarrow\sqrt{m^2-4}\ge4-m\)
m>4 luôn đúng
xét \(m\le4\) \(\Leftrightarrow m^2-4\ge16-8m+m^2\Leftrightarrow m\ge\dfrac{20}{8}=\dfrac{5}{2}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\dfrac{5}{2}\) khi t =2 <=> a=b>0
bài này dự đoán điểm rơi làm sao ạ??
dòng đầu \(P=\dfrac{3\left(a+b\right)}{4\sqrt{ab}}+\dfrac{a+b}{4\sqrt{ab}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}\)
2 mẫu đó đều là \(4\sqrt{ab}\) hết đúng ko?
nếu như điều kiện bài toán có biên thì có lẽ dễ dự đoán được điểm rơi, vậy đối với những bài ko có biên như bài này thì làm sao T_T?>??
ý là dự đoán điểm rơi để tách \(\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}\)
Cold Wind: những bài cận biên mới khó trong việc dự đoán chứ BĐT mà vai trò của $a,b$ như nhau (thay $a$ bằng $b$ hoặc $b$ bằng $a$ đều không tạo ra sự thay đổi) thì tồn tại điểm rơi hầu hết khi các biến bằng nhau.
Trong bài này thấy khi \(a=b\) thì \(\frac{a+b}{\sqrt{ab}}=2\); \(\frac{\sqrt{ab}}{a+b}=\frac{1}{2}\) nên hiển nhiên ta sẽ tách \(\frac{a+b}{\sqrt{ab}}=\frac{3(a+b)}{4\sqrt{ab}}+\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}\) , trong đó \(\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}=\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\) rồi từ đó áp dụng AM-GM
+cảm ơn bà chị nhiều
!!
+"mò mẫm", không phải "mò mẫn" =))))))))))
mò mẫn khác mò mẫm
sao \(t\ge2\) vậy
giải thích giúm cái
bạn lớp mấy mói có cơ sơ để giai thích.
toán học không nhẩy một phát lên ngọn cây được đâu
AM-GM là cối đúng không ạ
côsi
Cô bé teen: đúng rồi á bạn.