Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1 chuyên phan bội châu
câu c hà nội
câu g khoa học tự nhiên
câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ
câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)
Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !
Câu c quen thuộc, chém trước:
Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)
Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)
\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)
Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Done.
3 g) \(xyz=x+y+z+2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=\Sigma_{cyc}\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\) .Đặt \(\frac{1}{x+1}=a;\frac{1}{y+1}=b;\frac{1}{z+1}=c\Rightarrow x=\frac{1-a}{a}=\frac{b+c}{a};y=\frac{c+a}{b};z=\frac{a+b}{c}\) vì a + b + c = 1.
Khi đó \(P=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2}{a^2}+2}}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{2a^2+\left(b+c\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{2}{9}+\frac{4}{9}}.\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{\left[\left(\sqrt{\frac{2}{9}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{4}{9}}\right)^2\right]\left[2a^2+\left(b+c\right)^2\right]}}\)
\(\le\sqrt{\frac{2}{3}}\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{\left[\frac{2}{3}a+\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}c\right]^2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=2\)
3c) Nhìn quen quen, chả biết có lời giải ở đâu hay chưa nhưng vẫn làm:D (Em ko quan tâm nha!)
\(P=3-\Sigma_{cyc}\frac{2xy^2}{xy^2+xy^2+1}\ge3-\Sigma_{cyc}\frac{2xy^2}{3\sqrt[3]{\left(xy^2\right)^2}}=3-\frac{2}{3}\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\left(xy^2\right)}\)
\(\ge3-\frac{2}{3}\Sigma_{cyc}\frac{x+y+y}{3}=3-\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)=3-2=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Mới nghĩ ra 3 câu:
a/ \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^2\left(1+c\right)}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(1+c\right)}}\le\frac{ab}{2\sqrt{ab\left(1+c\right)}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{ab}{1+c}}\)
\(\sum\sqrt{\frac{ab}{1+c}}\le\sqrt{2\sum\frac{ab}{1+c}}\)
\(\sum\frac{ab}{1+c}=\sum\frac{ab}{a+c+b+c}\le\frac{1}{4}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{4}\)
c/ \(ab+bc+ca=2abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\Rightarrow x+y+z=2\)
\(VT=\sum\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\)
Ta có đánh giá: \(\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\ge x-\frac{1}{2}\) \(\forall x\in\left(0;2\right)\)
\(\Leftrightarrow2x^3\ge\left(2x-1\right)\left(x^2-4x+4\right)\)
\(\Leftrightarrow9x^2-12x+4\ge0\Leftrightarrow\left(3x-2\right)^2\ge0\)
d/ Ta có đánh giá: \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)
Akai Haruma, Nguyễn Ngọc Lộc , @tth_new, @Băng Băng 2k6, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm
Mn giúp e vs ạ! Thanks!
2a) Có cách này nhưng ko chắc!
\(A\ge\frac{4x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2+z^2}{x^2}=\frac{3x^2}{y^2+z^2}+\left(\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2+z^2}{x^2}\right)\)
\(\ge\frac{3\left(y^2+z^2\right)}{y^2+z^2}+2\sqrt{\frac{x^2}{y^2+z^2}.\frac{y^2+z^2}{x^2}}=3+2=5\)
Đẳng thức xảy ra khi x2 = y2 + z2????
tth, ?Amanda?, @Nk>↑@, buithianhtho, Phạm Hoàng Lê Nguyên,
Akai Haruma, Aki Tsuki, @Nguyễn Việt Lâm, @Trần Thanh Phương
Giúp mk vs!
\(A=\frac{a}{ab+c\left(a+b+c\right)}+\frac{b}{bc+a\left(a+b+c\right)}+\frac{c}{ca+b\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{a}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c}{\left(a+b\right)\left(c+b\right)}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(A=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\ge27.\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8\left(a+b+c\right)^3}\)\(=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)}{8}\)\(\ge\frac{9-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{8}=\frac{9-3}{8}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
a/ Một cách đơn giản hơn:
\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)
\(P=\frac{x-\frac{1}{2}+y-\frac{1}{2}}{y^2}+\frac{y-\frac{1}{2}+z-\frac{1}{2}}{z^2}+\frac{z-\frac{1}{2}+x-\frac{1}{2}}{x^2}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(P=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)+\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(P\ge\frac{2}{xy}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{yz}\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{zx}\left(z-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(P\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-1\)
\(P\ge\sqrt{3\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)}-1=\sqrt{3}-1\)
\(P_{min}=\sqrt{3}-1\) khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
\(e,\left\{{}\begin{matrix}\left(\frac{x}{y}\right)^3+\left(\frac{x}{y}\right)^2=12\\\left(xy\right)^2+xy=6\end{matrix}\right.\left(x;y\ne0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{y}=2\\xy\in\left\{2;-3\right\}\end{matrix}\right.\)
Vì \(\frac{x}{y}=2>0\Rightarrow xy>0\Rightarrow xy=2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{y}=2\\xy=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2y\\2y^2=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\left(h\right)\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-1\end{matrix}\right.\)
\(a,\left\{{}\begin{matrix}x^2+\frac{1}{y^2}+\frac{x}{y}=3\\x+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}=3\end{matrix}\right.\left(x;y\ne0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+\frac{1}{y}\right)^2-\frac{x}{y}=3\\\left(x+\frac{1}{y}\right)+\frac{x}{y}=3\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+\frac{1}{y}=a\\\frac{x}{y}=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-b=3\\a+b=3\end{matrix}\right.\)
Làm nốt nha
Bài 2:
a: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2-x+y-3x-3y=5\\3x-3y+5x+5y=-2\end{matrix}\right.\)
=>-4x-2y=3 và 8x+2y=-2
=>x=1/4; y=-2
b: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5}{y-1}=1\\\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{y-1}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-1=5\\\dfrac{1}{x-2}=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)
=>y=6 và x-2=5/4
=>x=13/4; y=6
c: =>x+y=24 và 3x+y=78
=>-2x=-54 và x+y=24
=>x=27; y=-3
d: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x-1}-6\sqrt{y+2}=4\\2\sqrt{x-1}+5\sqrt{y+2}=15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-11\sqrt{y+2}=-11\\\sqrt{x-1}=2+3\cdot1=5\end{matrix}\right.\)
=>y+2=1 và x-1=25
=>x=26; y=-1
?Amanda?, Phạm Lan Hương, Phạm Thị Diệu Huyền, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Ngọc Lộc , @tth_new, @Nguyễn Việt Lâm, @Akai Haruma, @Trần Thanh Phương
giúp e với ạ! Cần trước 5h chiều nay! Cảm ơn mn nhiều!
Tranh thủ làm 1, 2 bài rồi ăn cơm:
1/ Đặt \(m=n-2008>0\)
\(\Rightarrow2^{2008}\left(369+2^m\right)\) là số chính phương
\(\Rightarrow369+2^m\) là số chính phương
m lẻ thì số trên chia 3 dư 2 nên ko là số chính phương
\(\Rightarrow m=2k\Rightarrow369=x^2-\left(2^k\right)^2=\left(x-2^k\right)\left(x+2^k\right)\)
b/
\(2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)=a^4+b^4\) \(\left(a+b>2\right)\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\le4\left(a+b-2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2\le0\Rightarrow a=b=2\)
\(\Rightarrow x=y=4\)
2/
\(A\ge\frac{8a^2+1-a}{4a}+b^2=2a+\frac{1}{4a}+b^2-\frac{1}{4}=a+\frac{1}{4a}+b^2+a-\frac{1}{4}\)
\(A\ge a+\frac{1}{4a}+b^2+1-b-\frac{1}{4}=a+\frac{1}{4a}+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
b/ Giả thiết tương đương:
\(a\left(a+1\right)+b\left(b+1\right)=2\left(a+1\right)\left(b+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}=2\)
Hình như bạn ghi nhầm biểu thức
Đặt \(\left(\frac{a}{b+1};\frac{b}{a+1}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\0\le x;y\le2\end{matrix}\right.\)
\(P=\left(1+x^3\right)\left(1+y^3\right)=1+x^3+y^3+\left(xy\right)^3\)
\(=1+\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(xy\right)^3\)
\(=\left(xy\right)^3-6xy+9=9-xy\left(6-\left(xy\right)^2\right)\)
Do \(xy\le1\Rightarrow6-\left(xy\right)^2>0\Rightarrow xy\left(6-\left(xy\right)^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow P\le9\Rightarrow P_{max}=9\) khi \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\) hay \(\left(a;b\right)=\left(0;2\right);\left(2;0\right)\)
Câu c giống câu này:
https://hoc24.vn/hoi-dap/question/790896.html
Bạn tham khảo tạm, cách đó quá dài nên chắc chắn ko tối ưu, nó trâu bò quá
2d/
\(P\ge\frac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{y^2}{\sqrt{2\left(z^2+x^2\right)}}+\frac{z^2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}\)
Đặt \(\left(\sqrt{y^2+z^2};\sqrt{z^2+x^2};\sqrt{x^2+y^2}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c=6\)
Đổi biến được: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}\\y^2=\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\\z^2=\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\sqrt{2}P\ge\frac{b^2+c^2-a^2}{a}+\frac{a^2+c^2-b^2}{b}+\frac{a^2+b^2-c^2}{c}\ge\frac{\left(b+c\right)^2}{a}+\frac{\left(a+c\right)^2}{b}+\frac{\left(a+b\right)^2}{c}-6\)
\(2\sqrt{2}P\ge\frac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{a+b+c}-6=18\Rightarrow P\ge\frac{9\sqrt{2}}{2}\)
Thực sự là câu e ko biết điểm rơi của bài toán ở đâu luôn?
f/ Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a+1;b+1;c+1\right)\Rightarrow a;b;c\ge0\)
\(3\left(a+1\right)^2+4\left(b+1\right)^2+5\left(c+1\right)^2=52\)
\(\Leftrightarrow3a^2+4b^2+5c^2+6a+8b+10c=40\)
\(\Leftrightarrow5\left(a+b+c\right)^2+10\left(a+b+c\right)=40+2a^2+b^2+10\left(ab+bc+ca\right)+4a+2b\ge40\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2+2\left(a+b+c\right)-8\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c+4\right)\left(a+b+c-2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge2\Rightarrow x+y+z\ge5\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;3\right)\)
g/ Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=a\\x+2y=b\end{matrix}\right.\)
\(P=\frac{2}{\sqrt{a^3+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{b^3+1}-1}+\frac{ab}{4}-\frac{8}{a+b}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}-1}+\frac{2}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}-1}+\frac{ab}{4}-\frac{8}{a+b}\)
\(P\ge\frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}+\frac{ab}{4}-\frac{8}{a+b}=2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)+\frac{2}{a^2}+\frac{2}{b^2}+\frac{ab}{4}-\frac{8}{a+b}\)
\(P\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2+\frac{4}{ab}+\frac{ab}{4}-\frac{8}{a+b}\)
\(P\ge\frac{16}{\left(a+b\right)^2}-\frac{8}{a+b}+1-1+2\sqrt{\frac{4ab}{4ab}}\)
\(P\ge\left(\frac{4}{a+b}-1\right)^2+1\ge1\)
\(P_{min}=1\) khi \(a=b=2\Leftrightarrow x=y=\frac{2}{3}\)
g/ Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=a\\x+2y=b\end{matrix}\right.\)
\(P=\frac{2}{\sqrt{a^3+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{b^3+1}-1}+\frac{ab}{4}-\frac{8}{a+b}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}-1}+\frac{2}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}-1}+\frac{ab}{4}-\frac{8}{a+b}\)
\(P\ge\frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}+\frac{ab}{4}-\frac{8}{a+b}=2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)+\frac{2}{a^2}+\frac{2}{b^2}+\frac{ab}{4}-\frac{8}{a+b}\)
\(P\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2+\frac{4}{ab}+\frac{ab}{4}-\frac{8}{a+b}\)
\(P\ge\frac{16}{\left(a+b\right)^2}-\frac{8}{a+b}+1-1+2\sqrt{\frac{4ab}{4ab}}\)
\(P\ge\left(\frac{4}{a+b}-1\right)^2+1\ge1\)
\(P_{min}=1\) khi \(a=b=2\Leftrightarrow x=y=\frac{2}{3}\)
có ng tranh thủ làm hết ròi kkk
Cái dòng thứ 5 là như thế nào vậy ạ? Thực sự là chỗ đó em không hiểu gì..
Ồ đơn giản thôi, do a;b;c ko âm nên:
\(2a^2+b^2+10\left(ab+bc+ca\right)+4a+2b\ge0\)
\(\Rightarrow40+2a^2+b^2+10\left(ab+bc+ca\right)+4a+2b\ge40\)
Sau đó là chuyển vế và rút gọn cho 5