Gọi giao điểm của AD và CB là K

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC⊥KB tại C

Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔADB vuông tại D

=>BD⊥KA tại D

Xét ΔKAB có

AC,BD là các đường cao

AC cắt BD tại E

Do đó: E là trực tâm của ΔAKB

=>KE⊥AB tại M

Xét ΔAME vuông tại M và ΔACB vuông tại C có

\(\hat{MAE}\) chung

Do đó: ΔAME~ΔACB

=>\(\frac{AM}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

=>\(AM\cdot AB=AE\cdot AC\)

Xét ΔBME vuông tại M và ΔBDA vuông tại D có

\(\hat{MBE}\) chung

DO đó: ΔBME~ΔBDA

=>\(\frac{BM}{BD}=\frac{BE}{BA}\)

=>\(BD\cdot BE=BM\cdot BA\)

\(AE\cdot AC+BD\cdot BE\)

\(=AM\cdot AB+BM\cdot AB\)

\(=AB\left(AM+BM\right)=AB^2\) không đổi khi E di chuyển trong (O)

a: Xét (O) có

AD,BC là các dây không song song

AB//CD

Do đó: sđ cung AD=sđ cung BC

b: Ta có: ABCD là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{ADC}+\hat{ABC}=180^0\)

mà \(\hat{ABC}+\hat{BCD}=180^0\) (hai góc trong cùng phía, AB//CD)

nên \(\hat{ADC}=\hat{BCD}\)

Hình thang ABCD có \(\hat{ADC}=\hat{BCD}\)

nên ABCD là hình thang cân

Xét trường hợp D nằm ngoài OC (trường hợp còn lại em tự xét).

a.

Do đường tròn đường kính OA cắt OC tại D nên ∠ADO là góc nt chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\angle ADO=90^0\Rightarrow\angle ADC=90^0\)

=>D thuộc đường tròn đường kính AC (1)

Do CH⊥AB tại H nên \(\angle AHC=90^0\Rightarrow\) H thuộc đường tròn đường kính AC (2)

(1),(2) =>4 điểm A,C,D,H đồng viên

b.

Do A,C,D,H đồng viên (cmt) nên ∠ACD=∠AHD (cùng chắn AD) (3)

Lại có OA=OC (cùng là bán kính của (O)) =>ΔOAC cân tại O

=>∠ACD=∠CAO (4)

(3),(4) =>∠AHD=∠CAO

=>HD song song AC (hai góc so le trong bằng nhau)

Bạn học CMATH phải không vậy bạn? Mình thấy phiếu quen quen.

Bạn học CMATH phải không vậy bạn? Mình thấy quen quen.

ĐÂY LÀ CMATH phải không

a: Xét (O) có

ΔABP nội tiếp

AP là đường kính

Do đó: ΔABP vuông tại B

=>BA⊥BP

mà CH⊥BA

nên CH//BP

Xét (O) có

ΔACP nội tiếp

AP là đường kính

Do đó: ΔACP vuông tại C

=>CP⊥CA

mà BH⊥CA

nên BH//CP

Xét tứ giác BHCP có

BH//CP

BP//CH

Do đó: BHCP là hình bình hành

Gọi HP cắt CB tại I

BHCP là hình bình hành

=>BC cắt HP tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm chung của HP và BC

Xét (O) có

ΔAKP nội tiếp

AP là đường kính

Do đó: ΔAKP vuông tại K

=>AK⊥KP

mà AK⊥BC

nên PK//BC

Xét ΔHKP có

I là trung điểm của HP

DI//KP

Do đó: D là trung điểm của HK

=>DH=DK

b: Xét ΔCKH có

CD là đường cao

CD là đường trung tuyến

Do đó: ΔCKH cân tại C

=>CH=CK

mà CH=BP

nên BP=CK

Xét tứ giác BCPK có

BC//PK

BP=CK

Do đó: BCPK là hình thang cân