Gọi số năm sinh của ông Hai là \(\overline{abcd}\) (do năm sinh của ông Hai trong thế kỉ XX, nghĩa là từ năm 1901 đến năm 2000)
=> 1901≤\(\overline{abcd}\)≤2000 (1≤a≤2;0≤b,c,d≤9; a,b,c,dϵN)
Theo đề bài bà Hai kém ông Hai 1 tuổi => năm sinh của bà Hai là \(\overline{abcd}\)+1
Nếu năm sinh của ông Hai là năm 2000=> năm sinh của bà Hai là 2001 (trái với giả thiết đề bài là năm sinh của bà Hai cũng trong thế kỉ XX)
=> ông Hai không thể sinh năm 2000 hay 1901≤\(\overline{abcd}\)≤1999 => 1901≤19\(\overline{cd}\)≤1999
Từ đó suy ra năm sinh của bà Hai là 19\(\overline{cd}\)+1 và năm sinh của bà Hai cũng không thể là 2000 (vì khi đó tổng các chữ số trong năm sinh của bà Hai là 2+0+0+0=2 \(⋮̸\)4 trái với giả thiết đề bài)
=> Tổng các chữ số trong năm sinh của bà Hai là 1+9+c+d+1=11+c+d khi d≤8 hoặc là 1+9+(c+1)+0=11+c khi d=9
Ta lại có tổng các chữ số của năm sinh của ông Hai là a+b+c+d
=>1+9+0+1≤1+9+c+d≤1+9+9+9 =>1≤c+d≤18 (do 2 chữ số 0 và 1 có tổng bé nhất; 9 và 9 có tổng lớn nhất)
Theo đề bài ta lại có tổng các chữ số của năm sinh của ông Hai chia hết cho 4
=> 1+9+c+d⋮4
=> 10 +c+d⋮4
=> 12 +(c+d-2)⋮4
=> c+d-2⋮4 (do 12⋮4) (1)
Mà 1≤c+d≤18
=> -1≤c+d-2≤16 (2)
Từ (1) và (2)=> c+d-2 ϵ {4;8;12;16}
Ta xét các TH
TH1: c+d-2=4
=> c+d=6
=> d<9
=>Tổng các chữ số trong năm sinh của bà Hai là 11+c+d=11+6=17\(⋮̸\)4(loại)
TH2: c+d-2=8
=> c+d=10
Nếu d=9 => c=1
=> Tổng các chữ số trong năm sinh của bà Hai là 11+c=11+1=12 ⋮4 (thỏa mãn)
=> Năm sinh của ông Hai là 1919
Nếu d≤8
=> Tổng các chữ số trong năm sinh của bà Hai là 11+c+d=11+10=21\(⋮̸\)4(loại)
TH3: c+d-2=12
=> c+d=14
Nếu d=9 => c=5
=> Tổng các chữ số trong năm sinh của bà Hai là 11+c=11+5=16⋮4 (thỏa mãn)
=> Năm sinh của ông Hai là 1959
Nếu d≤8
=> Tổng các chữ số trong năm sinh của bà Hai là 11+c+d=11+14=25\(⋮̸\)4(loại)
TH4: c+d-2=16
=> c+d=18
Nếu d=9 => c=9
Khi đó năm sinh của ông Hai sẽ là 1999, từ đó suy ra năm sinh của bà Hai là 2000 (trái với lập luận trên nên loại)
Nếu d≤8
=> Tổng các chữ số trong năm sinh của bà Hai là 11+c+d=11+18=29\(⋮̸\)4 (loại)
Vậy ông Hai có thể sinh năm 1919 hoặc sinh năm 1959