a: ΔOCD cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI⊥CD tại I

Xét tứ giác ABOI có \(\hat{ABO}+\hat{AIO}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABOI là tứ giác nội tiếp

Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

=>BD⊥AC tại D

Xét ΔABC vuông tại B có BD là đường cao

nên \(AD\cdot AC=AB^2\)

b:

Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AB^2\)

\(AI^2-CI^2=\left(AI-CI\right)\left(AI+CI\right)\)

\(=\left(AI-ID\right)\left(AI+CI\right)=AD\cdot AC=AB^2\)

\(=AH\cdot AO\)

=>\(AH\cdot AO+CI^2=AI^2\)

Câu 3:

a) Vì AB là tiếp tuyến tại B nên AB ⟂ OB ⇒ ∠ABO = 90°. Tam giác COD có OC = OD, I là trung điểm CD nên OI ⟂ CD ⇒ ∠AIO = 90°. Suy ra ∠ABO = ∠AIO nên tứ giác ABOI nội tiếp. Theo định lý tiếp tuyến – cát tuyến: AB² = AC · AD.

b) Gọi H là hình chiếu của B trên AO ⇒ BH ⟂ AO nên AB² = AH · AO. Mà AB² = AC · AD ⇒ AH · AO = AC · AD. Vì I là trung điểm CD nên AC · AD = AI² − CI². Do đó AI² = AH · AO + CI².

a: Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp
AB là đường kính

Do đó; ΔAEB vuông tại E

=>BE⊥AC tại E

Xét (O) có

ΔAFB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔFAB vuông tại F

=>AF⊥BC tại F

Xét tứ giác CEHF có \(\hat{CEH}+\hat{CFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CEHF là tứ giác nội tiếp

Xét ΔCAB có

AF,BE là các đường cao

AF cắt BE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔCAB

=>CH⊥AB tại D

Xét tứ giác BDEC có \(\hat{BDC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BDEC là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔCEB vuông tại E và ΔCFA vuông tại F có

\(\hat{ECB}\) chung

Do đó: ΔCEB~ΔCFA

=>\(\frac{CE}{CF}=\frac{CB}{CA}\)

=>\(CE\cdot CA=CF\cdot CB\)

c: Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBEA vuông tại E có

\(\hat{DBH}\) chung

do đó: ΔBDH~ΔBEA

=>\(\frac{BD}{BE}=\frac{BH}{BA}\)

=>\(BH\cdot BE=BD\cdot BA\)

Xét ΔAEB vuông tại E và ΔADC vuông tại D có

\(\hat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔADC

=>\(\frac{AE}{AD}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(AE\cdot AC=AD\cdot AB\)

\(BH\cdot BE+AE\cdot AC\)

\(=BD\cdot BA+AD\cdot BA=BA^2=4R^2\) không đổi

x^2 − 3x − 1 = 0

Theo Viète

x1 + x2 = 3
x1x2 = −1

A = x1^2 − 3x2^2 + 12x2

Vì x1 là nghiệm nên
x1^2 = 3x1 + 1

Thay vào A

A = (3x1 + 1) − 3(3x2 + 1) + 12x2

A = 3x1 + 1 − 9x2 − 3 + 12x2

A = 3x1 + 3x2 − 2

A = 3(x1 + x2) − 2

A = 3·3 − 2

A = 7

mình cảm ơnn

a: THay m=1 vào phương trình, ta được:

\(x^2+\left(4-4\cdot1\right)\cdot x-8\cdot1+4=0\)

=>\(x^2-4=0\)

=>\(x^2=4\)

=>x=2 hoặc x=-2

b: \(\Delta=\left(4-4m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-8m+4\right)\)

\(=16m^2-32m+16+32m-16=16m^2\ge0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm là:

\(\left[\begin{array}{l}x=\frac{-4+4m-\sqrt{16m^2}}{2\cdot1}=\frac{-4+4m-4m}{2}=\frac{-4}{2}=-2\\ x=\frac{-4+4m+\sqrt{16m^2}}{2\cdot1}=\frac{-4+4m+4m}{2}=\frac{8m-4}{2}=4m-2\end{array}\right.\)

\(\sqrt{x_1}-5=x_2\)

=>\(\sqrt{4m-2}-5=-2\)

=>\(\sqrt{4m-2}=3\)

=>4m-2=9

=>4m=11

=>m=11/4(nhận)

Cách 1: Sử dụng định lý đảo (Cách ngắn gọn nhất) Trong chương trình lớp 9, bạn được phép sử dụng trực tiếp định lý đảo về tứ giác nội tiếp. Lời giải: Xét tứ giác có:

Mà hai góc và là hai góc ở vị trí đối diện nhau.

Tứ giác là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết: tứ giác có tổng hai góc đối bằng ).

a: ĐKXĐ: a>=0

b:Sửa đề: \(A=\frac{a+2}{a\sqrt{a}+1}+\frac{\sqrt{a}-1}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{1}{\sqrt{a}+1}\)

\(=\frac{a+2}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)}+\frac{\sqrt{a}-1}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)}-\frac{1}{\sqrt{a}+1}\)

\(=\frac{a+2+\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)-a+\sqrt{a}-1}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)}=\frac{\sqrt{a}+1+a-1}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)}\)

\(=\frac{a+\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)}=\frac{\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}\)

c: \(A-1=\frac{\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-1=\frac{\sqrt{a}-a+\sqrt{a}-1}{a-\sqrt{a}+1}=\frac{-a+2\sqrt{a}-1}{a-\sqrt{a}+1}\)

\(=-\frac{\left(a-2\sqrt{a}+1\right)}{a-\sqrt{a}+1}=-\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{a-\sqrt{a}+1}\le0\forall a\) thỏa mãn ĐKXĐ

=>A<=1∀a thỏa mãn ĐKXĐ

Để kiểm tra xem số $1999$ có phải là số nguyên tố hay không, ta thường kiểm tra xem nó có chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào từ $2$ cho đến căn bậc hai của nó ($\sqrt{1999}$) hay không.

• Ta có $\sqrt{1999} \approx 44.71$.
• Các số nguyên tố nhỏ hơn $44.71$ là: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43$.
• Thực hiện phép chia thử:
• • $1999$ không chia hết cho $2, 3, 5$ (dễ dàng thấy).
  • $1999 : 7 \approx 285.57$ (dư).
  • ...
  • $1999$ không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào trong danh sách trên.
• Kết luận: Số $\mathbf{1999}$ là một số nguyên tố.

Những số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 2 và chỉ chia hết 1 với chính nó.

\(x^3\) = \(1\)

\(x^3=1^3\)

\(\rarr x=1\)

x³ = 1

x = 1