ta có: \(\frac{a^3}{a^2+b}=a-\frac{ab}{a^2+b}\ge a-\frac{\sqrt{b}}{2}\)

=> \(VT\ge\left(a+b+c\right)-\frac12\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)

ta có \(\sqrt{a}=\sqrt{a\cdot1}\le\frac{a+1}{2}\)

=> \(VT\ge\left(a+b+c\right)-\frac{a+b+c+3}{4}=\frac{3\left(a+b+c\right)-3}{4}\)

\(VT\ge\frac{3\cdot3-3}{4}=\frac64=\frac32\)

dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

a=b=c=1

ta có: \(\frac{a}{1+b^2c}=a-\frac{ab^2c}{1+b^2c}\)

mà \(1+b^2c\ge2\sqrt{1\cdot b^2\cdot c}=2b\sqrt{c}\)

\(\Rightarrow\frac{ab^2c}{1+b^2c}\le\frac{ab^2c}{2b\sqrt{c}}=\frac{ab\sqrt{c}}{2}\)

=> \(\frac{a}{1+b^2c}\ge a-\frac{ab\sqrt{c}}{2}\)

=> \(VT\ge\left(a+b+c+d\right)-\frac12\left(ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}\right)\)

\(VT\ge4-\frac12\left(ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}\right)\)

Để VT\(\ge2\) => \(ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}\le4\)

mà \(\sqrt{c}\le\frac{c+1}{2}\)

=> \(ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}\le\frac12\left(abc+bcd+cda+dab+ab+bc+cd+da\right)\)

ta có: \(ab+bc+cd+da=b\left(a+c\right)+d\left(c+a\right)=\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)

ta có bđt: \(\left(a+c\right)\left(b+d\right)\le\left(\frac{a+c+b+d}{2}\right)^2=4\)

ta có: \(abc+bcd+cda+dab=ac\left(b+d\right)+bd\left(c+a\right)\)

mà \(ac\le\frac{\left(a+c\right)^2}{4},bd\le\frac{\left(b+d\right)^2}{4}\)

=> \(abc+bcd+cda+dab\le\frac{\left(a+c\right)^2}{4}\left(b+d\right)+\frac{\left(b+d\right)^2}{4}\left(c+a\right)\)

\(\Rightarrow abc+bcd+cda=dab\le\frac{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}{4}\left(a+b+c+d\right)=\left(a+c\right)\left(b+d\right)\le4\)

=> \(ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}\le\frac12\left(4+4\right)=4\)

=> \(VT\ge4-\frac12\cdot4=2\)

2x-1>=10

=>2x>=11

=>\(x\ge\frac{11}{2}\)

bài 5:

đổi 5,25 tấn = 5250 kg

Gọi số thùng bia tối đa xe có thể chở là x (x thuộc N*)

Tổng khối lượng của bia và bác lái xe không vượt quá trọng tải cho phép của xe nên ta có bất phương trình; \(6,7x + 65 \le 5250\)

\(\Leftrightarrow6,7x\le5185\Leftrightarrow x\le\frac{5185}{6,7}\approx773,88\)

vậy xe có thể chở tối đa 773 thùng bia

bài 4:

Gọi quãng đường tối đa hành khách có thể di chuyển là x (km) (x > 1)

Số tiền hành khách phải trả cho quãng đường vượt quá 1 km đầu tiên là: 12(x-1) (nghìn đồng)

Tổng số tiền hành khách phải trả không vượt quá 200 nghìn đồng nên ta có bất phương trình:

\(15+12(x-1)\le200\Leftrightarrow15+12x-12\le200\)

\(\Leftrightarrow12x+3\le200\Leftrightarrow12x\le197\)

\(\Leftrightarrow x \le \frac{197}{12} \approx 16,42\)

vậy hành khách có thể di chuyển tối đa 16 km

bài 3:

\(a.\frac{2x+3}{x+2}>1\) (đkxđ: x khác -2)

\(\Leftrightarrow \frac{2x+3}{x+2} - 1 > 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{2x+3 - (x+2)}{x+2} > 0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x+2}>0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>-1\\ x<-2\end{array}\right.\)

\(b.3x^2+10x-8<0\)

\(\Leftrightarrow(3x-2)(x+4)<0\)

\(\Leftrightarrow -4 < x < \frac{2}{3}\)

\(c.\frac{4-x}{x-9}-\frac{1}{x-1}>0\) (đkxđ: \(x \neq 9;\ x \neq 1\) )

\(\Leftrightarrow \frac{(4-x)(x-1) - (x-9)}{(x-9)(x-1)} > 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{-x^2 + 5x - 4 - x + 9}{(x-9)(x-1)} > 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{-x^2 + 4x + 5}{(x-9)(x-1)} > 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{-(x+1)(x-5)}{(x-9)(x-1)} > 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{(x+1)(x-5)}{(x-9)(x-1)} < 0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}-1 < x < 1\\5 < x < 9\end{array}\right.\)

\(d.x-\frac{5x}{6}-3>\frac{x}{3}-\frac{x}{6}\)

\(\Leftrightarrow x - \frac{5x}{6} - \frac{x}{3} + \frac{x}{6} > 3\)

\(\Leftrightarrow \left(1 - \frac{5}{6} - \frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)x > 3\)

\(\Leftrightarrow0x>3\) (vô lý)

vậy bất phương trình vô nghiệm

\(\frac{x+5}{6} + \frac{x-1}{3} \le \frac{x+3}{2} - 1\)

\(\Leftrightarrow \frac{x+5 + 2(x-1)}{6} \le \frac{3(x+3) - 6}{6}\)

\(\Leftrightarrow x + 5 + 2x - 2 \le 3x + 9 - 6\)

\(\Leftrightarrow 3x + 3 \le 3x + 3\)

\(\Leftrightarrow0x\le0\) (luôn đúng với mọi số thực)

vậy bất phương trình có vô số nghiệm

\(f.\frac{x-1}{99}+\frac{x-3}{97}+\frac{x-5}{95}<\frac{x-2}{98}+\frac{x-4}{96}+\frac{x-6}{94}\)

\(\Leftrightarrow \left(\frac{x-1}{99} + 1\right) + \left(\frac{x-3}{97} + 1\right) + \left(\frac{x-5}{95} + 1\right) < \left(\frac{x-2}{98} + 1\right) + \left(\frac{x-4}{96} + 1\right) + \left(\frac{x-6}{94} + 1\right)\)

\(\Leftrightarrow \frac{x+98}{99} + \frac{x+98}{97} + \frac{x+98}{95} < \frac{x+98}{98} + \frac{x+98}{96} + \frac{x+98}{94}\)

\(\Leftrightarrow (x+98)\left(\frac{1}{99} + \frac{1}{97} + \frac{1}{95} - \frac{1}{98} - \frac{1}{96} - \frac{1}{94}\right) < 0\)

vì \(\left(\frac{1}{99} + \frac{1}{97} + \frac{1}{95} - \frac{1}{98} - \frac{1}{96} - \frac{1}{94}\right) < 0\) nên\(x+98>0\Leftrightarrow x>-98\)

Bài 1:

a: \(4\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)^3\)

=>\(4x^3+4y^3\ge x^3+y^3+3x^2y+3xy^2\)

=>\(3x^3+3y^3-3xy^2-3x^2y\ge0\)

=>\(x^3+y^3-xy^2-x^2y\ge0\)

=>\(\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-xy\left(x+y\right)\ge0\)

=>\(\left(x+y\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)

=>\(\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y>0\)

=>ĐPCM

b: \(2\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)

=>\(2x^3+2y^3\ge x^3+xy^2+x^2y+y^3\)

=>\(x^3+y^3-xy^2-x^2y\ge0\)

=>\(\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-xy\left(x+y\right)\ge0\)

=>\(\left(x+y\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)

=>\(\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng khi x>0; y>0)

=>ĐPCM

c:Sửa đề: \(\frac{x^2+1}{x}\ge2\) (1)

=>\(x+\frac{1}{x}\ge2\)

mà \(x+\frac{1}{x}\ge2\cdot\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\forall x\) >0

nên (1) đúng khi x>0

=>ĐPCM

Bài 2:

a: \(2+\frac{3\left(x+1\right)}{8}\le3-\frac{x-1}{4}\)

=>\(\frac{16+3\left(x+1\right)}{8}\le\frac{24}{8}-\frac{2\left(x-1\right)}{8}\)

=>16+3(x+1)<=24-2(x-1)

=>16+3x+3<=24-2x+2

=>3x+19<=-2x+26

=>5x<=7

=>x<=7/5

b: \(\frac{3x+5}{2}-1\le\frac{x+2}{3}+x\)

=>\(\frac{3x+5-2}{2}\le\frac{x+2+3x}{3}\)

=>\(\frac{3x+3}{2}\le\frac{4x+2}{3}\)

=>3(3x+3)-2(4x+2)<=0

=>9x+9-8x-4<=0

=>x+5<=0

=>x<=-5

c: \(\left(x-1\right)^2+\left(x-3\right)^2\ge x^2+\left(x+1\right)^2\)

=>\(x^2-2x+1+x^2-6x+9\ge x^2+x^2+2x+1\)

=>-8x+10>=2x+1

=>-10x>=-9

=>x<=9/10

d: \(\frac{\left(2x-1\right)^2}{8}<\frac{\left(3-x\right)^2}{2}\)

=>\(\frac{4x_{}^2-4x+1}{8}\le\frac{4\left(x^2-6x+9\right)}{8}\)

=>\(4x^2-4x+1\le4\left(x^2-6x+9\right)\)

=>\(4x_{}^2-4x+1\le4x^2-24x+36\)

=>-4x+24x<=36-1

=>20x<=35

=>x<=7/4

khai triển phương trình:
$(x - 1)^3 - x(x^2 - 3x + 3) = -28$

$x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x^3 + 3x^2 - 3x = -28$

$-1 = -28$

vậy phương trình vô nghiệm bạn nha.

 Ta có: (x – 1)³ – x(x² – 3x + 3) =  –28

⇒ x³ – 3x² + 3x – 1 – x³ + 3x² – 3x = –28 (áp dụng hằng đẳng thức Lập phương của một hiệu)

⇒ –1 = –28

Vậy x vô nghiệm (x = ∅)

A=99...9 x \(10^{n+2}\) +8 x \(10^{n+1}+1\)

ta có \(99\ldots9=10^{n}-1\)

=> \(A=\left(10^{n}-1\right)\cdot100\cdot10^{n}+80\cdot10^{n}+1\)

\(A=100\left(10^{n}\right)^2-100\cdot10^{n}+80\cdot10^{n}+1\)

\(A=100\left(10^{n}\right)^2-20\cdot10^{n}+1=\left(10\cdot10^{n}-1\right)^2\)

\(A=\left(10^{n+1}-1\right)^2=\left(99\ldots9\right)^2\)

KL:...

B= \(99\ldots9\cdot10^{n+2}+25=\left(10^{n}-1\right)\cdot100\cdot10^{n}+25\)

\(B=100\left(10^{n}\right)^2-100\cdot10^{n}+25\)

\(B=\left(10\cdot10^{n}-5\right)^2=\left(10^{n+1}-5\right)=\left(99\ldots95\right)^2\)

C= \(11\ldots1\cdot10^{n+2}+22\ldots2\cdot10+5\)

đặt a=11...1=> \(a=\frac{10^{n}-1}{9}\Rightarrow10^{n}=9a+1\)

=> 22...2( với n+1 số)=\(2\cdot\frac{10^{n+1}-1}{9}=\frac{20\cdot10^{n}-2}{9}=\frac{20\left(9a+1\right)-2}{9}=20a+2\)

=> \(C=a\cdot100\cdot\left(9a+1\right)+\left(20a+2\right)\cdot10+5\)

\(C=900a^2+300a+25=\left(30a+5\right)^2\)

D= \(a\cdot10^{n}+a-2a=a\left(10^{n}-1\right)=a\cdot9a=\left(3a\right)^2\)

D nhé bn

Đáp án đúng là: D

Bác thợ xây mua 1 chiếc mũi khoan hết số tiền là:

104 000 : 4 = 26 000 (đồng)

Bác thợ xây mua 6 chiếc mũi khoan hết số tiền là:

26 000 × 6 = 156 000 (đồng)

Đáp số: 156 000 đồng

3 - 1,5 + x = 19,8 - 7,46

1,5 = 12,34

x = 12,34 - 1,5

x = 10,84

`3 -1,5 + x = 19,8 -7,46`

`=> 1,5 + x = 12,34`

`=> x = 12,34 - 1,5`

`=> x= 10,84`

Vậy `x = 10,84`

ta có: \(VP=\frac12\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{2n\left(n+1\right)}\)

mà \(n^2+\left(n+1\right)^2-2n\left(n+1\right)=\left(n+1-n\right)^2=1^2=1\)

=> \(n^2+\left(n+1\right)^2>2n\left(n+1\right)>0\)

=> \(\frac{1}{n^2+\left(n+1\right)^2}<\frac12\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)

b) => \(VT=\frac{1}{1^2+2^2}+\frac{1}{2^2+3^2}+\frac{1}{3^2+4^2}+.\ldots+\frac{1}{2025^2+2026^2}\)

\(\Rightarrow VT<\frac12\left(1-\frac12+\frac12-\frac13+\frac13-.\ldots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}\right)\)

\(VT<\frac12\cdot\left(1-\frac{1}{2026}\right)<\frac12\cdot1=\frac12\left(đpcm\right)\)

\(VP=21​(n1​−n+11​)=2n(n+1)1​\)

mà \(n2+(n+1)2−2n(n+1)=(n+1−n)2=12=1n2+(n+1)2−2n(n+1)=(n+1−n)2=12=1\)

=> \(n2+(n+1)2>2n(n+1)>0n2+(n+1)2>2n(n+1)>0\)

=> \(1n2+(n+1)2<12(1n−1n+1)n2+(n+1)21​<21​(n1​−n+11​)\)

b) => \(VT=112+22+122+32+132+42+.…+120252+20262VT=12+221​+22+321​+32+421​+.…+20252+202621​\)

\(⇒VT<12(1−12+12−13+13−.…+12025−12026)⇒VT<21​(1−21​+21​−31​+31​−.…+20251​−20261​)\)

\(VT<12\cdot(1-12026)<12\cdot1=12VT<21\cdot(1-20261)<21\cdot1=21\)

mik cũng không chắc lắm nếu đúng cho mik 1 tick nha

Ta có nhận xét: Hiệu giữa hai thừa số trong tích là: (n+6) - (n+3) = 3. Vì hiệu của chúng bằng 3, đây là một số lẻ, nên trong hai số (n+3) và (n+6) chắc chắn sẽ có một số chẵn và một số lẻ (một số chia hết cho 2 và một số không chia hết cho 2).

Vì tích của hai số tự nhiên luôn chứa ít nhất một thừa số là số chẵn, nên kết quả của tích (n+3)(n+6) luôn chia hết cho 2 (là số chẵn) với mọi số tự nhiên n.

Ta có: (n + 3)(n + 6)

+) TH1: n là số chẵn

Gọi n = 2k

⇒ (n + 3)(n + 6) = (2k)² + 9 * 2k + 18

⇒ (n + 3)(n + 6) = 4k² + 18k + 18

Mà 4k² ⋮ 2;  18k ⋮ 2;  18 ⋮ 2

⇒ 4k² + 18k + 18 ⋮ 2

⇒ (n + 3)(n + 6) ⋮ 2 với n = 2k (1)

+ TH2: n là số lẻ

Gọi n = 2k + 1

⇒ (n + 3)(n + 6) = (2k + 1)² + 9 * (2k +1) + 18

⇒ (n + 3)(n + 6) = 4k² + 4k + 1 + 18k + 9 + 18 (áp dụng hằng đẳng thức Bình phương của một tổng)

⇒ (n + 3)(n + 6) = 4k² + 22k + 28

Mà 4k² ⋮ 2;  22k ⋮ 2;  28 ⋮ 2

⇒ 4k² + 22k +  28 ⋮ 2

⇒ (n + 3)(n + 6) ⋮ 2 với n = 2k + 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (n + 3)(n + 6) ⋮ 2 với mọi n (đpcm)