Gọi số nhỏ nhất là \(x\).

100 số tự nhiên liên tiếp là:

\(x, x+1, x+2, …, x+99\)

Tổng là:

\(\left(\right. 2 x + 99 \left.\right) \times 50 = 20250\)

\(2 x + 99 = 405\)

\(2 x = 306\)

\(x = 153\)

Vậy số nhỏ nhất là 153

Olm chào em. Đây là toán nâng cao tổng hiệu ẩn cả tổng lẫn hiệu, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

Giải:

Tổng hai số là: 20 250 x 2 : 100 = 405

Hiệu hai số là: 1 x (100 - 1) = 99

Theo bài ra ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ ta có:

Số thứ nhất là: (405 - 99) : 2 = 153

Đáp số:..

Tổng khối lượng ngô ở 6 bao nhỏ là:

6x30=180(kg)

Tổng khối lượng ngô ở 4 bao lớn là:

40x4=160(kg)

Tổng khối lượng ngô ở 10 bao là:

180+160=340(kg)

Trung bình ở mỗi bao sẽ có:

340:10=34(kg)

Xét ΔAEC và ΔADB có:

góc AEC = góc ADB = 90°

góc ACE = góc ABD

Suy ra ΔAEC ∼ ΔADB

Do đó

AE/AD = AC/AB = CE/DB

⇒ AE = AC.AD/AB và CE = AC.DB/AB

Lại có

SΔABC = AB.CE/2 = BC.AD/2

⇒ AB.CE = AD.BC = AD(BD + CD)

Xét ΔAED và ΔACB có:

góc AED = góc ABC = 90°

góc DAE = góc CAB

Suy ra ΔAED ∼ ΔACB

Do đó

DE/BC = AD/AC

⇒ DE = AD.BC/AC

Khi đó

AE.CD + AC.DE

= (AC.AD/AB).CD + AC.(AD.BC/AC)

= AC.AD.CD/AB + AD.BC

= AC.AD.CD/AB + AB.CE

= AD.CE

Vậy

AD.CE = AE.CD + AC.D

Ta chứng minh theo hướng diện tích

GT: Tam giác \(A B C\) nhọn, \(A D \bot B C\), \(C E \bot A B\).

KL: \(A D \cdot C E = A E \cdot C D + A C \cdot D E\).

Chứng minh

Vì \(C E \bot A B\) nên tam giác \(A C E\) vuông tại \(E\).

Lại có \(D \in B C , \&\text{nbsp}; A D \bot B C\) nên tam giác \(A C D\) vuông tại \(D\).

Áp dụng định lý Pitago:

\(A C^{2} = A E^{2} + C E^{2} \left(\right. 1 \left.\right)\) \(A C^{2} = A D^{2} + C D^{2} \left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ (1) và (2):

\(A E^{2} + C E^{2} = A D^{2} + C D^{2} . \left(\right. 3 \left.\right)\)

Mặt khác, xét tam giác vuông \(A D E\):

Do

\(\angle D A E = \angle A C B\)

(vì \(A D \bot B C , \&\text{nbsp}; C E \bot A B\)) nên

\(D E^{2} = A D^{2} + A E^{2} - 2 A D \cdot A E cos ⁡ \angle D A E .\)

Mà

\(cos ⁡ \angle D A E = cos ⁡ C = \frac{C D}{A C} .\)

Suy ra

\(D E^{2} = A D^{2} + A E^{2} - \frac{2 A D \cdot A E \cdot C D}{A C} . \left(\right. 4 \left.\right)\)

Thay (3) vào (4):

\(D E^{2} = C E^{2} + C D^{2} - \frac{2 A D \cdot A E \cdot C D}{A C} .\)

Lại có trong tam giác vuông \(C D E\):

\(C E^{2} = C D^{2} + D E^{2} - 2 C D \cdot D E cos ⁡ \angle C D E .\)

Biến đổi và rút gọn, sử dụng

\(cos ⁡ \angle C D E = \frac{C D}{A C} ,\)

suy ra

\(A D \cdot C E = A E \cdot C D + A C \cdot D E .\)

Vậy

\(\boxed{A D \cdot C E = A E \cdot C D + A C \cdot D E .}\)

74 và 674 nhé

hm.74 với 674

Số số hạng của S:

2024 - 1 + 1 = 2024 (số)

Do 2024 ⋮ 4 nên ta có thể nhóm các số hạng của S thành các nhóm mà mỗi nhóm có 4 số hạng như sau:

S = (5 + 5² + 5³ + 5⁴) + (5⁵ + 5⁶ + 5⁷ + 5⁸) + ... + (5²⁰²¹ + 5²⁰²² + 5²⁰²³ + 5²⁰²⁴)

= 780 + 5⁴.(5 + 5² + 5³ + 5⁴) + ... + 5²⁰²⁰.(5 + 5² + 5³ + 5⁴)

= 65.12 + 5⁴.780 + ... + 5²⁰²⁰.780

= 65.12 + 5⁴.65.12 + ... + 5²⁰²⁰.65.12

= 65.(12 + 5⁴.12 + ... + 5²⁰²⁰.12) ⋮ 65

Vậy S ⋮ 65

Số số hạng của S:

2024 - 1 + 1 = 2024 (số)

Do 2024 ⋮ 4 nên ta có thể nhóm các số hạng của S thành các nhóm mà mỗi nhóm có 4 số hạng như sau:

S = (5 + 5² + 5³ + 5⁴) + (5⁵ + 5⁶ + 5⁷ + 5⁸) + ... + (5²⁰²¹ + 5²⁰²² + 5²⁰²³ + 5²⁰²⁴)

= 780 + 5⁴.(5 + 5² + 5³ + 5⁴) + ... + 5²⁰²⁰.(5 + 5² + 5³ + 5⁴)

= 65.12 + 5⁴.780 + ... + 5²⁰²⁰.780

= 65.12 + 5⁴.65.12 + ... + 5²⁰²⁰.65.12

= 65.(12 + 5⁴.12 + ... + 5²⁰²⁰.12) ⋮ 65

Vậy S ⋮ 65

Giải:

ƯCLN(a; b) = 12 nên a = 12k; b = 12d và (k; d) = 1

Theo bài ra ta có: 12.k.d = 720

kd = 60

60 = \(2^2\).3.5

Ư(60) = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60}

(k; d) = (1; 60); (2; 30); (3; 20); (4; 15); (5; 12); (6; 10); (10; 6); (12; 5); (15; 4); (20; 3); (30; 2); (60; 1)

Vì k; d nguyên tố cùng nhau nên:

(k; d) = (1; 60); (4; 15); (5; 12); (12; 5); (15; 4); (60 ; 1)

Suy ra:

(a; b) = ( 12; 720); (48; 180); (60; 144); (144; 60); (180; 48); (720; 12)

Mà a > b; a không chia hết cho b nên:

Vậy : (a; b) = (144; 60); (180; 48)

Giải:

ƯCLN(a; b) = 12 nên a = 12k; b = 12d và (k; d) = 1

Theo bài ra ta có: 12.k.d = 720

kd = 60

60 = \(2^2\).3.5

Ư(60) = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60}

(k; d) = (1; 60); (2; 30); (3; 20); (4; 15); (5; 12); (6; 10); (10; 6); (12; 5); (15; 4); (20; 3); (30; 2); (60; 1)

Vì k; d nguyên tố cùng nhau nên:

(k; d) = (1; 60); (4; 15); (5; 12); (12; 5); (15; 4); (60 ; 1)

Suy ra:

(a; b) = ( 12; 720); (48; 180); (60; 144); (144; 60); (180; 48); (720; 12)

Mà a > b; a không chia hết cho b nên:

Vậy : (a; b) = (144; 60); (180; 48)

1)ĐKXĐ: x≠3 ; x≠0 x≠\(-3;x\ne-\frac32\)

\(\frac{x}{x-3}-\frac{x^2+3x}{2x+3}\cdot\left(\frac{x+3}{x^2-3x}-\frac{x}{x^2-9}\right)\)

= \(\frac{x}{x-3}-\frac{x^2+3x}{2x+3}\cdot\left(\frac{\left(x+3\right)^2}{x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{x^2}{x\left(x-3\right)9x+3)}\right)\)

= \(\frac{x}{x-3}-\frac{x^2+3x}{2x+3}\cdot\left(\frac{\left(x+3\right)^2-x^2}{x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\right)\)

\(=\frac{x}{x-3}-\frac{x^2+3x}{2x+3}\cdot\left(\frac{x^2+6x+9-x^2}{x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\right)\)

\(=\frac{x}{x-3}-\frac{x^2+3x}{2x+3}\cdot\left(\frac{3\left(2x+3\right)}{x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\right)\)

\(=\frac{x}{x-3}-\frac{3}{x-3}\)

= \(\frac{x-3}{x-3}=1\)

2) ĐKXĐ: x≠0;x≠3;x≠-3;x≠\(-\frac32\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-6}{x-3}+\frac{x^2+3}{2x+3}\left(\frac{x}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{\left(x+3\right)^2}{x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\right)\)

\(=\frac{x^2-6}{x-3}+\frac{x^2+3}{2x+3}\cdot\left(\frac{x^2-\left(x+3\right)^2}{x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\right)\)

= \(\frac{x^2-6}{x-3}+\frac{x^2+3}{2x+3}\cdot\left(\frac{-3\left(2x+3\right)}{x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\right)\)

= \(\frac{x^2-6}{2x+3}\cdot\frac{-3\left(2x+3\right)}{x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{-3\left(x^2+3\right)}{x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\frac{x\left(x+3\right)\left(x^2-6\right)-3\left(x^2+3\right)}{x\left(x-3\right)9x+3)}\)

= \(\frac{\left(x^2+3x\right)\left(x^2-6\right)-3x^2-9}{x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

= \(\frac{x^4+3x^3-9x^2-18x-9}{x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

sleep

+) Định lí tổng ba góc trong một tam giác: Tổng số đo ba góc của một tam giác bằng 180°

+) Định lí về đường trung bình của tam giác: Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh đó

+) Định lí về tính chất đường trung bình của hình thang: Đường trung bình hình thang song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy

+) Định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác thì nó tạo ra các đoạn thẳng tỉ lệ

+) Định lí đảo của Ta-lét

+) Định lí về hai tam giác đồng dạng: Các cạnh tương ứng tỉ lệ, các góc tương ứng bằng nhau

+) Định lí về trường hợp đồng dạng của tam giác:

Góc – góc (AA)

Cạnh – góc – cạnh (SAS)

Cạnh – cạnh – cạnh (SSS)

+) Định lí về tính chất phân thức đại số (nhân, chia, rút gọn phân thức)

+) Các hằng đẳng thức đáng nhớ

Lớp 8 có một số định lí quan trọng như định lí Ta-lét, định lí đảo của Ta-lét, hệ quả của định lí Ta-lét, tính chất đường phân giác trong tam giác, định lí về hai tam giác đồng dạng, định lí Pythagore và định lí đảo Pythagore, định lí về đường trung bình của tam giác, định lí về đường trung bình của hình thang, các định lí về hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, các định lí về diện tích tam giác, hình chữ nhật, hình thang, hình bình hành, hình thoi.