(1/a) + (1/a+b) + (1/a+b+c) = 1; Tìm a,b,c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
18 tháng 6
Bài làm:
Vì $a,b,c$ đôi một khác nhau nên từ $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ suy ra:
$$a + b + c = 0$$Khai triển và nhóm biểu thức $M$ (đã sửa đúng tính đối xứng):
$$M = a(b^2+c^2) + b(c^2+a^2) + c(a^2+b^2)$$$$M = ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)$$Thay $a+b=-c$, $b+c=-a$, $c+a=-b$ vào:
$$M = ab(-c) + bc(-a) + ca(-b) = -3abc$$Mà $3abc = 21$. Vậy $M = -21$.
19 tháng 6
Ta có hằng đẳng thức quen thuộc:
\(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\)Theo đề bài:
\(a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc=21\implies a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0\)Do đó:
\((a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=0\)Vì \(a, b, c\) khác nhau từng đôi một nên:
\(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=\frac{1}{2}\left[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right]>0\)Từ đây suy ra:
\(a+b+c=0\implies \begin{cases}a+b=-c\\ b+c=-a\\ c+a=-b\end{cases}\)Khai triển biểu thức \(M\):
\(M=ab^{2}+ac^{2}+bc^{2}+ba^{2}+ca^{2}+cb^{2}\)Nhóm các hạng tử chung để xuất hiện các tổng \((a+b)\), \((b+c)\), \((c+a)\):
\(M=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\)Thay các giá trị \(a+b=-c\), \(b+c=-a\), \(c+a=-b\) vào biểu thức:
\(M=ab(-c)+bc(-a)+ca(-b)\)
\(M=-3abc\)Theo đề bài, ta đã có \(3abc = 21\). Do đó:
\(M=-21\)Kết luận\(\mathbf{M=-21}\)
\(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\)Theo đề bài:
\(a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc=21\implies a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0\)Do đó:
\((a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=0\)Vì \(a, b, c\) khác nhau từng đôi một nên:
\(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=\frac{1}{2}\left[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right]>0\)Từ đây suy ra:
\(a+b+c=0\implies \begin{cases}a+b=-c\\ b+c=-a\\ c+a=-b\end{cases}\)Khai triển biểu thức \(M\):
\(M=ab^{2}+ac^{2}+bc^{2}+ba^{2}+ca^{2}+cb^{2}\)Nhóm các hạng tử chung để xuất hiện các tổng \((a+b)\), \((b+c)\), \((c+a)\):
\(M=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\)Thay các giá trị \(a+b=-c\), \(b+c=-a\), \(c+a=-b\) vào biểu thức:
\(M=ab(-c)+bc(-a)+ca(-b)\)
\(M=-3abc\)Theo đề bài, ta đã có \(3abc = 21\). Do đó:
\(M=-21\)Kết luận\(\mathbf{M=-21}\)
18 tháng 6
Bài làm:
Vì $a,b,c$ đôi một khác nhau nên từ $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ suy ra:
$$a + b + c = 0$$Khai triển và nhóm biểu thức $M$ (đã sửa đúng tính đối xứng):
$$M = a(b^2+c^2) + b(c^2+a^2) + c(a^2+b^2)$$$$M = ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)$$Thay $a+b=-c$, $b+c=-a$, $c+a=-b$ vào:
$$M = ab(-c) + bc(-a) + ca(-b) = -3abc$$Mà $3abc = 21$. Vậy $M = -21$.
PN
phong nguyen
CTVHS
18 tháng 6
nếu học hằng đẳng thức mở rộng rồi thì áp dụng luôn chưa thì lên mạng tra đi sắp đi ngủ rồi:v
=> \(a^3+b^3+c^3-3abc\) = \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
mà trong ngoặc ta có = \(\frac12\left\lbrack\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right\rbrack>0\)
=>a+b+c=0
=> a+b=-c
b+c=-a
a+c=-b
khai triển biểu thức M ta có:
... nếu theo các đề thì cần sửa lại đối xứng thật:
=> M= \(a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)\)
\(M=ab^2+ac^2+bc^2+ba^2+ca^2+cb^2\)
\(M=\left(ab^2+ba^2\right)+\left(ac^2+ca^2\right)+\left(bc^2+cb^2\right)\)
\(M=ab\left(a+b\right)+ac\left(c+a\right)+bc\left(c+b\right)\)
thay từng giá trị suy ra ta có:
\(M=-abc-abc-abc\)
\(M=-3abc\)
\(M=-21\)
LG
6
NA
3
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
18 tháng 6
1; Lý thuyết khai căn:
\(\sqrt{A^2}\) = A (nếu A > 0)
\(\sqrt{A^2}\) = - A (nếu A < 0)
Căn bậc hai số học của một số luôn là một số không âm.
2; Vận dụng:
\(\sqrt{81}\) = \(\sqrt{9^2}\) = 9
VQ
5
18 tháng 6
ta có:
\(\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{4} = k\)
suy ra:
\(x = 2 k + 1\)
\(y = 3 k + 2\)
\(z = 4 k + 3\)
thay vào \(2 x + 3 y - z = 50\):
\(2 \left(\right. 2 k + 1 \left.\right) + 3 \left(\right. 3 k + 2 \left.\right) - \left(\right. 4 k + 3 \left.\right) = 50\)
\(4 k + 2 + 9 k + 6 - 4 k - 3 = 50\)
\(9 k + 5 = 50\)
\(9 k = 45\)
\(k = 5\)
vậy:
\(x = 2 \cdot 5 + 1 = 11\)
VQ
6
2
5
Bài làm (với $a,b,c$ nguyên dương):
Vì $a < a+b < a+b+c \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a+b+c} < \frac{3}{a}$.
$$\Rightarrow 1 < \frac{3}{a} \Rightarrow a < 3 \Rightarrow a \in \{1; 2\}$$Vì $\frac{1}{2+b} + \frac{1}{2+b+c} < \frac{2}{2+b} \Rightarrow \frac{1}{2} < \frac{2}{2+b} \Rightarrow b < 2 \Rightarrow b = 1$.
Thay $a=2, b=1 \Rightarrow \frac{1}{3} + \frac{1}{3+c} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{3+c} = \frac{1}{6} \Rightarrow c = 3$.
Đặt:
- \(x = a\)
- \(y = a + b\)
- \(z = a + b + c\)
Vì \(a, b, c\) là các số nguyên dương (\(a, b, c \geq 1\)), ta có điều kiện:\(1\le x<y<z\)Phương trình ban đầu trở thành:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)Bước 2: Giới hạn giá trị của \(x\)
Do \(x < y < z \implies \frac{1}{x} > \frac{1}{y} > \frac{1}{z}\), ta có:
\(1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}<\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{3}{x}\)
\(\implies x<3\)Vì \(x\) là số nguyên dương nên \(x\) chỉ có thể nhận giá trị bằng \(1\) hoặc \(2\).
- Trường hợp 1: Nếu \(x = 1\)
- Trường hợp 2: Nếu \(x = 2\)
Bước 3: Tìm \(y\) và \(z\)\(\frac{1}{1}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\implies \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\quad (\text{Vô\ lý\ vì\ }y,z>0)\)
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\implies \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\)
Do \(y < z \implies \frac{1}{y} > \frac{1}{z}\), ta có:
\(\frac{1}{2}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}<\frac{2}{y}\)
\(\implies y<4\)Mà \(y > x \implies y > 2\). Vì \(y\) là số nguyên nên bắt buộc \(y = 3\).Thay \(y = 3\) vào phương trình:
\(\frac{1}{3}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\implies \frac{1}{z}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\implies z=6\)Vậy bộ số thỏa mãn là \((x, y, z) = (2, 3, 6)\).Bước 4: Tìm \(a, b, c\)
Từ cách đặt ẩn phụ, ta suy ra:
- \(a = x = 2\)
- \(b = y - a = 3 - 2 = 1\)
- \(c = z - y = 6 - 3 = 3\)
Kết luậnCác số nguyên dương cần tìm là: \(a = 2, b = 1, c = 3\)