\(S=2.2^2+3.2^3+4.2^4+\cdots+99.2^{99}\)

\(\rArr2S=2.2^3+3.2^4+4.2^5+\cdots+99.2^{100}\)

\(S-2S=2.2^2+\left(3-2\right).2^3+\left(4-3\right).2^4+\cdots+\left(99-98\right)+99.2^{99}-99.2^{100}\)

\(\rArr-S=8+2^2+2^3+2^4+\cdots+2^{99}-99.2^{100}\)

\(\rArr-S=8+\frac{2^3\left(1-2^{97}\right)}{1-2}-99.2^{100}\)

\(\rArr-S=8+8\left(2^{97}-1\right)-99.2^{100}\)

\(\rArr S=\left(99-1\right).2^{100}=98.2^{100}=\left(2.49\right).2^{100}=49.2^{101}\)

S=2.22+3.23+4.24+⋯+99.299

\(\Rightarrow 2 S = 2. 2^{3} + 3. 2^{4} + 4. 2^{5} + \hdots + 99. 2^{100}\)

\(S - 2 S = 2. 2^{2} + \left(\right. 3 - 2 \left.\right) . 2^{3} + \left(\right. 4 - 3 \left.\right) . 2^{4} + \hdots + \left(\right. 99 - 98 \left.\right) + 99. 2^{99} - 99. 2^{100}\)

\(\Rightarrow - S = 8 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \hdots + 2^{99} - 99. 2^{100}\)

\(\Rightarrow - S = 8 + \frac{2^{3} \left(\right. 1 - 2^{97} \left.\right)}{1 - 2} - 99. 2^{100}\)

\(\Rightarrow - S = 8 + 8 \left(\right. 2^{97} - 1 \left.\right) - 99. 2^{100}\)

\(\Rightarrow S = \left(\right. 99 - 1 \left.\right) . 2^{100} = 98. 2^{100} = \left(\right. 2.49 \left.\right) . 2^{100} = 49. 2^{101}\)

Sửa lại đề bài số gà hơn số vịt 60 con

\(\frac{25}{100}=\frac14\)

Hiệu số phần bằng nhau:

\(4-1=3\left(phần\right)\)

Số vịt là:

\(60:3x1=20\left(con\right)\)

Số gà là :

\(60:3x4=80\left(con\right)\)

Đáp số...

số vịt bằng 25% số gà hay \(\dfrac{\text{số vịt}}{\text{số gà}}=\dfrac{1}{4}\)

hiệu số phần bằng nhau: 4 - 1 = 3 (phần)

số gà: 50 x 4 : 3 ≈ 67 (con)

số vịt: 50 x 1 : 3 ≈ 17 (con)

vậy số gà là 67 con và số vịt là 17con

-9/11

\(-\frac35;\frac57;-\frac79;-\frac{9}{11};\frac{11}{13}\)

ta có \(-\frac35;-\frac79;-\frac{9}{11}\) >0

\(\frac57;\frac{11}{13}\) <0

=>\(-\frac35;-\frac79;-\frac{9}{11}\) >\(\frac57;\frac{11}{13}\)

\(\frac{279}{495}<\frac{385}{495}<\frac{405}{495}\) hay\(\frac35<\frac79<\frac{9}{11}\) suy ra \(-\frac35>-\frac79>-\frac{9}{11}\)

vậy \(-\frac{9}{11}\)

\(3x-2y-4=0\)

=>\(2y=3x-4\)

=>\(y=\dfrac{3x-4}{2}\)

\(2x^2-4xy+2y^2+8x-8y-10=0\)

=>\(2\left(x^2-2xy+y^2\right)+8\left(x-y\right)-10=0\)

=>\(\left(x-y\right)^2+4\left(x-y\right)-5=0\)

=>(x-y+5)(x-y-1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-y+5=0\\x-y-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=x+5\\y=x-1\end{matrix}\right.\)

TH1: y=x+5

=>\(\dfrac{3x-4}{2}=x+5\)

=>3x-4=2(x+5)

=>3x-4=2x+10

=>3x-2x=4+10

=>x=14

Khi x=14 thì y=x+5=14+5=19

TH2: y=x-1

=>\(\dfrac{3x-4}{2}=x-1\)

=>3x-4=2(x-1)

=>3x-4=2x-2

=>3x-2x=-2+4

=>x=2

Khi x=2 thì y=x-1=2-1=1

Gọi O là tâm hình thoi ABCD nên O là giao điểm hai đường chéo AC và BD, đồng thời
AO = OC và BO = OD, AC ⟂ BD.

Do SA = SC nên S nằm trên mặt phẳng trung trực của AC, suy ra SO ⟂ AC.
Tương tự, do SB = SD nên S nằm trên mặt phẳng trung trực của BD, suy ra SO ⟂ BD.

Vì AC ⟂ BD và SO ⟂ AC, SO ⟂ BD nên SO vuông góc với mặt phẳng đáy.

Xét hai tam giác vuông SAO và SBO tại O:
SA = SC và AO = OC nên tam giác SAO cân tại S.
SB = SD và BO = OD nên tam giác SBO cân tại S.

Suy ra góc ASO = góc OSC = 30 độ và góc BSO = góc OSD = 30 độ.

Do đó góc giữa AC và SB chính là góc ASB.
Ta có
góc ASB = góc ASO + góc OSB = 30 + 30 = 60 độ.

Vậy (AC, SB) = 60 độ.

Tỉ số phần trăm giữa số học sinh tiên tiến và số học sinh toàn trường là:

\(\dfrac{360}{1080}=\dfrac{1}{3}\simeq33,33\%\)

Giải:

Tỉ số phần trăm số học sinh tiên tiến và số học sinh toàn trường:

360 : 1080 = 0,3333...

0,3333... = 33,33...%

Đáp số: 33,33...%

a) Tỉ số phần trăm giá xăng cuối tháng và giá xăng đầu tháng:

22360 × 100% : 21500 = 104%

 b) Số phần trăm giá xăng cuối tháng tăng so với giá xăng đầu tháng:

104% - 100% = 4%

Giải:

a; Tỉ số phần trăm giá xăng cuối tháng và giá xăng đầu tháng là:

22360 : 21500 = 1,04

1,04 = 104%

b; Giá xăng cuối tháng so với giá xăng đầu tháng tăng số phần trăm là:

104% - 100% = 4%

Đáp số: a; 104%; b 4%

Ta tìm nghiệm nguyên của phương trình
2x^3 + y^3 + 4z^3 = 5.

Vì vế phải nhỏ nên chỉ cần xét các giá trị nhỏ của x, y, z.

Thử z = 1
Khi đó 4z^3 = 4, phương trình trở thành
2x^3 + y^3 = 1.

Xét các giá trị x nguyên nhỏ:
x = 0 ⇒ 2x^3 = 0 ⇒ y^3 = 1 ⇒ y = 1.
x = 1 ⇒ 2x^3 = 2 ⇒ y^3 = −1 ⇒ y = −1.

Hai nghiệm thu được:
(x, y, z) = (0, 1, 1) và (1, −1, 1).

Thử z = 0
Khi đó 2x^3 + y^3 = 5, không có nghiệm nguyên.

Thử z = −1
Khi đó 2x^3 + y^3 = 9, không có nghiệm nguyên.

Các giá trị |z| ≥ 2 làm |4z^3| quá lớn, không thỏa mãn phương trình.

Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là
x = 0, y = 1, z = 1
x = 1, y = −1, z = 1.

Các số hạng: (105-1):2 + 1 = 53 số

Tổng các số hạng: ( 105+1)x53:2 = 2809

Trung bình cộng các số lẻ từ 1 đến 106 là: 2809: 53 = 53

Giải:

Từ 1 đến 106 số lẻ nhỏ nhất là 1, số lẻ lớn nhất là 105. Trung bình cộng các số lẻ từ 1 đến 105 là trung bình cộng của 1 và 105 và bằng:

(1 + 105: 2 = 53

Đáp số: 53

\(\dfrac{x}{6}-\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{30}\)

=>\(\dfrac{x}{6}-\dfrac{1}{30}=\dfrac{2}{y}\)

=>\(\dfrac{5x-1}{30}=\dfrac{2}{y}\)

=>\(y\left(5x-1\right)=30\cdot2=60\)

=>(5x-1;y)\(\in\){(1;60);(60;1);(-1;-60);(-60;-1);(2;30);(30;2);(-2;-30);(-30;-1);(3;20);(-3;-20);(20;3);(-20;-3);(4;15);(15;4);(-4;-15);(-15;-4);(5;12);(12;5);(-5;-12);(-12;-5);(6;10);(10;6);(-10;-6);(-6;-10)}

=>(x;y)\(\in\){(2/5;60);(61/5;1);(0;-60);(-59/5;-1);(3/5;30);(31/5;2);(-1/5;-30);(-29/5;-1);(4/5;20);(-2/5;-20);(21/5;3);(-19/5;-3);(1;15);(16/5;4);(-3/5;-15);(-14/5;-4);(6/5;12);(13/5;5);(-4/5;-12);(-11/5;-5);(7/5;10);(11/5;6);(-9/5;-6);(-1;-10)}

Đề bài như này cần bổ sung thêm điều kiện \(x\); y nguyên em nhé.