Bài 4. (2 điểm)
Từ điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$, vẽ tiếp tuyến $AB$ đến $(O)$ ($B$ là tiếp điểm). Vẽ $BE$ là đường kính của $(O)$. Dựng đường cao $BC$ của $\Delta OAB$, tia $BC$ cắt $(O)$ tại $D$.
a) Chứng minh: $AD$ là tiếp tuyến của $(O)$ và $OA // DE$.
b) Gọi $F$ là giao điểm của $AE$ và $(O)$.
Chứng minh: $AE.AF=AC.AO$
c) Gọi $G$ là giao điểm của $BF$ và $ED$, $H $ là giao điểm của $AE$ và...
Đọc tiếp
Bài 4. (2 điểm)
Từ điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$, vẽ tiếp tuyến $AB$ đến $(O)$ ($B$ là tiếp điểm). Vẽ $BE$ là đường kính của $(O)$. Dựng đường cao $BC$ của $\Delta OAB$, tia $BC$ cắt $(O)$ tại $D$.
a) Chứng minh: $AD$ là tiếp tuyến của $(O)$ và $OA // DE$.
b) Gọi $F$ là giao điểm của $AE$ và $(O)$.
Chứng minh: $AE.AF=AC.AO$
c) Gọi $G$ là giao điểm của $BF$ và $ED$, $H $ là giao điểm của $AE$ và $BD$, $I$ là giao điểm của $AB$ và $ED$. Chứng minh: $GH//AB$ và $AB = AI$.
a: Ta có: ΔOBD cân tại O
mà OA là đường cao
nên OA là phân giác của góc BOD
Xét ΔOBA và ΔODA có
OB=OD
\(\widehat{BOA}=\widehat{DOA}\)
OA chung
Do đó: ΔOBA=ΔODA
=>\(\widehat{OBA}=\widehat{ODA}\)
=>\(\widehat{ODA}=90^0\)
=>AD là tiếp tuyến của (O)
Xét (O) có
ΔBDE nội tiếp
BE là đường kính
Do đó: ΔBDE vuông tại D
=>BD\(\perp\)DE
mà BD\(\perp\)OA
nên OA//DE
b: Xét (O) có
ΔBFE nội tiếp
BE là đường kính
Do đó: ΔBFE vuông tại F
=>BF\(\perp\)AE tại F
Xét ΔBEA vuông tại B có BF là đường cao
nên \(AF\cdot AE=AB^2\left(1\right)\)
Xét ΔABO vuông tại B có BC là đường cao
nên \(AC\cdot AO=AB^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AF\cdot AE=AC\cdot AO\)
a) Ta có: O B = O D ( = & nbsp ; R ) OB=OD(= R) nên Δ O D B ΔODB cân tại O O. Mà O C OC là đường cao của Δ O D B ΔODB. Nên O C OC cũng là đường phân giác của Δ O D B ΔODB. Suy ra B O C ^ = C O D ^ BOC ^ = COD ^ hay B O A ^ = A O D ^ BOA ^ = AOD ^ . Xét Δ A B O ΔABO và Δ A D O ΔADO có: O B = O D ( = R ) OB=OD(=R) B O A ^ = A O D ^ BOA ^ = AOD ^ (chứng minh trên) Cạnh O A OA chung Do đó Δ A B O = Δ A D O ΔABO=ΔADO (c-g-c) Suy ra A B O ^ = A D O ^ = 9 0 ∘ ABO ^ = ADO ^ =90 ∘ . Do đó A D AD là tiếp tuyến của ( O ) (O). Ta có: $\widehat{DEB}=\dfrac12 sđ\overset\frown{BD} \, \, (1)$ Lại có: B O D ^ = s đ BOD ^ =sđ Mà B O A ^ & nbsp ; = & nbsp ; 1 2 B O D ^ BOA ^ = 2 1 BOD ^ Nên $\widehat{BOA} = \dfrac12 sđ \overset\frown{BD} \, \, (2)$ Từ ( 1 ) (1) và ( 2 ) (2) suy ra B O A ^ = D E O ^ BOA ^ = DEO ^ . Mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị nên O A / / D E OA//DE. b) Vì F F thuộc đường tròn đường kính B E BE nên B F E ^ = 9 0 ∘ BFE ^ =90 ∘ Xét Δ A B E ΔABE vuông tại B B có: B F BF là đường cao Suy ra A E . A F = A B 2 AE.AF=AB 2 Chứng minh tương tự, ta có: A C . A O = A D 2 . AC.AO=AD 2 . Mà A B = A D AB=AD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Do đó A B 2 & nbsp ; = A D 2 AB 2 =AD 2 Suy ra: A E . A F = A C . A O AE.AF=AC.AO. c) Vì D D thuộc đường tròn đường kính BE nên B D E ^ = 9 0 ∘ BDE ^ =90 ∘ . Ta có: B D BD là đường cao của Δ B G E ΔBGE; E F EF là đường cao của Δ B G E ΔBGE. Mà B D , E F BD,EF cắt nhau tại H H. Do đó H H là trực tâm của Δ B G E ΔBGE. Suy ra: G H & nbsp ; ⊥ & nbsp ; B E ; & nbsp ; A B & nbsp ; ⊥ & nbsp ; B E GH ⊥ BE; AB ⊥ BE Nên G H / / A B GH//AB. Xét Δ B I E ΔBIEcó: B O = E O ( = R ) ; A O / / E I ( A O / / D E ) BO=EO(=R);AO//EI(AO//DE). Do đó A B = A I AB=AI. [Sửa]