Chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất (m) và giá trị lớn nhất (M) của biểu thức \( M = \sin^4(x) + \cos^4(x) \), sau đó tính giá trị của \( P = 2m + M^2 + 2024 \).
**Bước 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức \( M \)**
Sử dụng đồng nhất thức cơ bản:
\[ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \]
Và:
\[ \sin^4(x) + \cos^4(x) = (\sin^2(x) + \cos^2(x))^2 - 2\sin^2(x)\cos^2(x) \]
\[ = 1 - 2\sin^2(x)\cos^2(x) \]
Sử dụng tiếp đồng nhất thức:
\[ \sin^2(x)\cos^2(x) = \left(\frac{\sin(2x)}{2}\right)^2 = \frac{\sin^2(2x)}{4} \]
Do đó:
\[ M = 1 - 2\cdot\frac{\sin^2(2x)}{4} = 1 - \frac{\sin^2(2x)}{2} \]
**Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của \( M = 1 - \frac{\sin^2(2x)}{2} \)**
Biểu thức \(\sin^2(2x)\) có giá trị từ 0 đến 1, do đó:
\[ 0 \leq \sin^2(2x) \leq 1 \]
Áp dụng vào biểu thức \( M \):
\[ M = 1 - \frac{\sin^2(2x)}{2} \]
Khi \(\sin^2(2x) = 0\):
\[ M = 1 - 0 = 1 \]
Khi \(\sin^2(2x) = 1\):
\[ M = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]
Vậy:
\[ m = \frac{1}{2} \]
\[ M = 1 \]
**Bước 3: Tính giá trị của \( P \)**
\[ P = 2m + M^2 + 2024 \]
\[ P = 2 \cdot \frac{1}{2} + 1^2 + 2024 \]
\[ P = 1 + 1 + 2024 \]
\[ P = 2026 \]
Vậy, giá trị của \( P \) là \( 2026 \). Nếu bạn có thêm bất kỳ câu hỏi nào hoặc cần hỗ trợ thêm, đừng ngần ngại hỏi nhé! 😊
