a.

\(\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=7\\P=x_1x_2=10\end{matrix}\right.\)

Theo định lý Viet đảo, \(x_1;x_2\) là nghiệm:

\(x^2-7x+10=0\)

Trình bày tương tự câu a ta có:

b.

\(x^2-2x-35=0\)

c.

\(x^2+13x+36=0\)

Gọi số tự nhiên bé hơn là `x `

Điều kiện: `x ∈ N`

=> Số tự nhiên lớn hơn là: `x + 1`

Do hiệu các bình phương của bằng `39`

`=> (x+1)^2 - x^2 = 39`

`=> x^2 + 2x + 1 - x^2 = 39`

`=> 2x = 38`

`=> x = 38 : 2`

`=> x = 19`

Vậy số tự nhiên bé hơn là `19`, số tự nhiên lớn hơn là `19+ 1 = 20`

Xét `ΔABC` có: `AB + AC > BC`

`=> R_((B)) + R((C)) > BC`

`=> (B)` cắt `(C)` (đpcm)

\(x^2\left(x-2\right)+3\left(x-2\right)=0\)

=>\(\left(x-2\right)\left(x^2+3\right)=0\)

mà \(x^2+3>=3>0\forall x\)

nên x-2=0

=>x=2

a: Xét ΔMNQ có

NE,MF là các đường cao

NE cắt MF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔMNQ

=>QH\(\perp\)MN tại D

Xét `ΔMQN` có: 

Đường cao `NE` và `MF` cắt nhau tại H

`=> H` là trực tâm của `ΔMQN`

`=> QD` là đường cao của `ΔMQN` (đi qua H)

`=> QH  MN` tại `D`

Với mọi x;y dương ta có:

\(x^2+xy+y^2=\dfrac{3}{4}\left(x^2+2xy+y^2\right)+\dfrac{1}{4}\left(x^2-2xy+y^2\right)\)

\(=\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(x-y\right)^2\ge\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)

Áp dụng:

\(P\ge\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2}+\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(b+c\right)^2}+\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(c+a\right)^2}\)

\(P\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(b+c\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(c+a\right)\)

\(P\ge\sqrt{3}\left(a+b+c\right)=\sqrt{3}\)

\(P_{min}=\sqrt{3}\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

a: \(\dfrac{AB'}{AB}=\dfrac{AC'}{AC}\)

=>\(1-\dfrac{AB'}{AB}=1-\dfrac{AC'}{AC}\)

=>\(\dfrac{BB'}{AB}=\dfrac{CC'}{AC}\)

=>\(\dfrac{BB'}{CC'}=\dfrac{AB}{AC}\)

mà \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AB'}{AC'}\)

nên \(\dfrac{AB'}{AC'}=\dfrac{BB'}{CC'}\)

=>\(\dfrac{AB'}{BB'}=\dfrac{AC'}{CC'}\)

b: \(\dfrac{AB'}{AB}=\dfrac{AC'}{AC}\)

=>\(1-\dfrac{AB'}{AB}=1-\dfrac{AC'}{AC}\)

=>\(\dfrac{BB'}{AB}=\dfrac{CC'}{AC}\)

a: Thay m=3 vào hệ, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=1\\3x+\left(3+1\right)y=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=1\\3x+4y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+4y-3x-2y=-1-1\\3x+2y=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2y=-2\\3x=1-2y=1-\left(-2\right)=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=1\end{matrix}\right.\)

b:

để hệ có vô số nghiệm thì \(\dfrac{m}{3}=\dfrac{2}{m+1}=\dfrac{1}{-1}\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m^2+m=6\\m+1=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m+3\right)\left(m-2\right)=0\\m=-3\end{matrix}\right.\)

=>m=-3

Để hệ vô nghiệm thì \(\dfrac{m}{3}=\dfrac{2}{m+1}\ne\dfrac{1}{-1}=-1\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m^2+m=6\\m+1\ne-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m+3\right)\left(m-2\right)=0\\m\ne-3\end{matrix}\right.\)

=>m=2

Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{m}{3}\ne\dfrac{2}{m+1}\)

=>\(m^2+m\ne6\)

=>\(m^2+m-6\ne0\)

=>(m+3)(m-2)<>0

=>\(m\notin\left\{-3;2\right\}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}mx+2y=1\\3x+\left(m+1\right)y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3mx+6y=3\\3mx+\left(m^2+m\right)y=-m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3mx+\left(m^2+m\right)y-3mx-6y=-m-3\\mx+2y=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y\left(m+3\right)\left(m-2\right)=-\left(m+3\right)\\mx+2y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{-1}{m-2}\\mx=1-2y=1+\dfrac{2}{m-2}=\dfrac{m-2+2}{m-2}=\dfrac{m}{m-2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{1}{m-2}\\x=\dfrac{1}{m-2}\end{matrix}\right.\)

c: Để hệ có nghiệm duy nhất là số nguyên thì \(\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{-3;2\right\}\\m-2\inƯC\left(1;-1\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{-3;2\right\}\\m-2\in\left\{1;-1\right\}\end{matrix}\right.\)

=>\(m\in\left\{3;1\right\}\)