\(S=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{2^{200}}\)

\(\Rightarrow2S=2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{2^{200}}\right)\)

\(\Rightarrow2S=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{2^{199}}\)

\(\Rightarrow2S-S=\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{2^{199}}\right)-\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{2^{200}}\right)\)

\(\Rightarrow S=1-\dfrac{1}{2^{100}}< 1\)

\(\Rightarrow S< 1\)

Vậy \(S< 1\)

\(1.2\left(x+2\right)^2< 2x\left(x+2\right)+4\\ \Leftrightarrow2\left(x^2+4x+4\right)-2x\left(x+2\right)-4< 0\\ \Leftrightarrow2x^2+8x+4-2x^2-4x-4< 0\\ \Leftrightarrow4x< 0\\ \Leftrightarrow x< 0\\ 2.\left(x-1\right)^2+x^2< \left(x+1\right)^2+\left(x+2\right)^2\\ \Leftrightarrow x^2-2x+1+x^2< x^2+2x+1+x^2+4x+4\\ \Leftrightarrow2x^2-2x+1-2x^2-6x-5< 0\\ \Leftrightarrow-8x-4< 0\\ \Leftrightarrow8x>-4\\ \Leftrightarrow x>-\dfrac{1}{2}\\ 3.\left(x^2+1\right)\left(x-6\right)< \left(x-2\right)^3\\ \Leftrightarrow x^3-6x^2+x-6< x^3-6x^2+12x-8\\ \Leftrightarrow x-6< 12x-8\\ \Leftrightarrow12x-x>-6+8\\ \Leftrightarrow11x>2\\ \Leftrightarrow x>\dfrac{2}{11}\)

a: Xét ΔBAD và ΔABC có

AB chung

BD=AC

AD=BC

Do đó: ΔBAD=ΔABC

=>\(\widehat{ABD}=\widehat{BAC}\)

=>\(\widehat{TAB}=\widehat{TBA}\)

=>ΔTAB cân tại T

=>TA=TB

b: Ta có: TA+TC=AC

TB+TD=BD

mà TA=TB và AC=BD

nên TC=TD

nối t với m sao cho tm vuông góc ab 

xét tam giác AMT và tam giác BMT có

amt=bmt=90 độ

mt chung 

am=mb

suy ra hai tam giác bằng nhau 

suy ra ta=tb

CMTT ta có tam giác TDN và TCN 

suy ra TD=TC

Bài 18:

a: \(\left(-\dfrac{40}{51}\cdot0,32\cdot\dfrac{17}{20}\right):\dfrac{64}{75}\)

\(=-\dfrac{40}{20}\cdot\dfrac{17}{51}\cdot\dfrac{8}{25}\cdot\dfrac{75}{64}\)

\(=-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{8}{64}\cdot\dfrac{75}{25}=-\dfrac{2}{3}\cdot3\cdot\dfrac{1}{8}=-\dfrac{2}{8}=-\dfrac{1}{4}\)

b: \(-\dfrac{10}{11}\cdot\dfrac{8}{9}+\dfrac{7}{18}\cdot\dfrac{10}{11}=\dfrac{10}{11}\left(-\dfrac{8}{9}+\dfrac{7}{18}\right)\)

\(=\dfrac{10}{11}\left(-\dfrac{16}{18}+\dfrac{7}{18}\right)=\dfrac{10}{11}\cdot\dfrac{-9}{18}=\dfrac{10}{11}\cdot\dfrac{-1}{2}=-\dfrac{5}{11}\)

c: \(\dfrac{3}{14}:\dfrac{1}{28}-\dfrac{13}{21}:\dfrac{1}{28}+\dfrac{29}{42}:\dfrac{1}{28}-8\)

\(=\left(\dfrac{3}{14}-\dfrac{13}{21}+\dfrac{29}{42}\right):\dfrac{1}{28}-8\)

\(=\left(\dfrac{9}{42}-\dfrac{6}{42}+\dfrac{29}{42}\right):\dfrac{1}{28}-8\)

\(=\dfrac{32}{42}\cdot28-8=32\cdot\dfrac{2}{3}-8=\dfrac{64}{3}-\dfrac{24}{3}=\dfrac{40}{3}\)

d: \(-1\dfrac{5}{7}\cdot15+\dfrac{2}{7}\cdot\left(-15\right)+\left(-105\right)\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{7}\right)\)

\(=-\dfrac{12}{7}\cdot15+\dfrac{2}{7}\cdot\left(-15\right)+\left(-105\right)\left(\dfrac{70}{105}-\dfrac{84}{105}+\dfrac{15}{105}\right)\)

\(=\dfrac{-180-30}{7}+\left(-105\right)\cdot\dfrac{1}{105}\)

=-30-1=-31

Bài 19:

a: \(A=7x-2x-\dfrac{2}{3}y+\dfrac{7}{9}y=5x+y\left(\dfrac{7}{9}-\dfrac{2}{3}\right)=5x+\dfrac{y}{9}\)

Khi x=-1/10;y=4,8 thì \(A=5\cdot\dfrac{-1}{10}+\dfrac{4.8}{9}\)

\(=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{8}{15}=\dfrac{-15+16}{30}=\dfrac{1}{30}\)

b: \(B=x+\dfrac{0,2-0,375+\dfrac{5}{11}}{-0,3+\dfrac{9}{16}-\dfrac{15}{22}}\)

\(=x+\dfrac{\dfrac{2}{10}-\dfrac{6}{16}+\dfrac{10}{22}}{-\dfrac{3}{10}+\dfrac{9}{16}-\dfrac{15}{22}}=x+\dfrac{2\left(\dfrac{1}{10}-\dfrac{3}{16}+\dfrac{5}{22}\right)}{-3\left(\dfrac{1}{10}-\dfrac{3}{16}+\dfrac{5}{22}\right)}\)

\(=x-\dfrac{2}{3}\)

Khi x=-1/3 thì \(B=-\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{3}{3}=-1\)

Giá tiền mỗi buổi học trực tuyến là \(150000\times\dfrac{8}{15}=80000\left(đồng\right)\)

Số buổi học trong 1 năm là 4x12=48(buổi)

Số tiền tiết kiệm được là:

\(48\times\left(150000-80000\right)=48\times70000=3360000\left(đồng\right)\)

fighting

A B C P Q M N I K x y

Hướng giải:

- Chứng minh được đường phân giác trong và đường phân giác ngoài của cùng 1 góc thì vuông góc với nhau

- Từ đó chững minh được APBQ và AMCN là hình chữ nhật.

- Gọi I là giao của PQ với AB; K là giao của MN với AC => I là trung điểm của AB và K là trung điểm của AC (trong HCN 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

- Ta  chứng minh được \(\widehat{QNy}=\widehat{BCy}\) Hai góc này ở vị trí đồng vị

=> MN//BC

- Chứng minh tương tự ta cũng có PQ//BC

- Xét tg ABC có PQ đi qua trung điểm AB và PQ//BC => PQ đi qua trung điểm K của AC (Trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

=> Qua điểm K có 2 đường thẳng PQ và MN cùng song song với BC nên MN trùng PQ hay P; Q; M; N thẳng hàng (Từ 1 điểm bên ngoài 1 đường thẳng cho trước chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng // với đường thẳng đã cho)

a; Xét ΔABC có \(\hat{ABC}>\hat{ACB}\)

mà AC,AB lần lượt là cạnh đối diện của các góc ABC,ACB

nên AC>AB

Xét ΔABD có \(\hat{ABC}\) là góc ngoài tại đỉnh B

nên \(\hat{ABC}=\hat{BAD}+\hat{BDA}=2\cdot\hat{BDA}\)

Xét ΔACE có \(\hat{ACB}\) là góc ngoài tại đỉnh C

nên \(\hat{ACB}=\hat{CAE}+\hat{CEA}=2\cdot\hat{AEC}\overline{}\)

Ta có: \(\hat{ABC}>\hat{ACB}\)

=>\(2\cdot\hat{ADB}>2\cdot\hat{AEC}\)

=>\(\hat{ADB}>\hat{AEC}\)

=>\(\hat{ADE}>\hat{AED}\)

=>AE>AD
b: ΔBAD cân tại B

mà BG là đường trung tuyến

nên BG⊥AD tại G và BG là phân giác của góc ABD

ΔCAE cân tại C

mà CK là đường trung tuyến

nên CK⊥AE tại K và CK là phân giác của góc ACE

Xét ΔIGA vuông tại G và ΔIGD vuông tại G có

IG chung

GA=GD

Do đó ΔIGA=ΔIGD

=>IA=ID(1)

Xét ΔIKA vuông tại K và ΔIKE vuông tại K có

IK chung

KA=KE

Do đó: ΔIKA=ΔIKE

=>IA=IE(2)

Từ (1),(2) suy ra ID=IE

=>I nằm trên đường trung trực của DE

c: Kẻ IH⊥BA tại H, IM⊥BC tại M; IG⊥CA tại G

Ta có: \(\hat{ABG}=\hat{HBI}\) (hai góc đối đỉnh)

\(\hat{DBG}=\hat{IBM}\) (hai góc đối đỉnh)

mà \(\hat{ABG}=\hat{DBG}\)

nên \(\hat{HBI}=\hat{MBI}\)

Ta có: \(\hat{KCA}=\hat{ICG}\) (hai góc đối đỉnh)

\(\hat{KCE}=\hat{MCI}\) (hai góc đối đỉnh)

mà \(\hat{KCA}=\hat{KCE}\) (CK là phân giác của góc ACE)

nên \(\hat{ICG}=\hat{ICM}\)

Xét ΔBHI vuông tại H và ΔBMI vuông tại M có

BI chung

\(\hat{HBI}=\hat{MBI}\)

Do đó: ΔBHI=ΔBMI

=>IH=IM(3)

Xét ΔCMI vuông tại M và ΔCGI vuông tại G có

CI chung

\(\hat{MCI}=\hat{GCI}\)

Do đó: ΔCMI=ΔCGI

=>IM=IG(4)

Từ (3),(4) suy ra IH=IG

Xét ΔAHI vuông tại H và ΔAGI vuông tại G có

AI chung

IH=IG

Do đó: ΔAHI=ΔAGI

=>\(\hat{HAI}=\hat{GAI}\)

=>AI là phân giác của góc BAC

Giá tiền mỗi buổi học trực tuyến là \(150000\times\dfrac{8}{15}=80000\left(đồng\right)\)

Số buổi học trong 1 năm là 4x12=48(buổi)

Số tiền tiết kiệm được là:

\(48\times\left(150000-80000\right)=48\times70000=3360000\left(đồng\right)\)

Ta có:\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Vì \(\left(a-b\right)^2\ge0;\left(b-c\right)^2\ge0;\left(c-a\right)^2\ge0\) với mọi \(a;b;c\inℝ\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) với mọi \(a;b;c\inℝ\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

\(\Rightarrow P=a^3+a^3+c^3-3.a.a.a\)

\(\Leftrightarrow P=3a^3-3a^3\)

\(\Leftrightarrow P=0\)

Vậy ...

`#3107.101107`

\(\dfrac{5}{13}+...=\dfrac{7}{9}\)

\(\dfrac{7}{9}-\dfrac{5}{13}=\dfrac{49}{117}\)

Vậy, chỗ trống cần điền là \(\dfrac{49}{117}.\)

7/9-5/13=46/117

Vậy5/13+46/117=7/9