a) Ta có \(VT=cot^2\alpha+1=\dfrac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}+1\) \(=\dfrac{cos^2\alpha+sin^2\alpha}{sin^2\alpha}\) \(=\dfrac{1}{sin^2\alpha}\) \(=VP\), vậy đẳng thức được chứng minh.

 b) \(cot\alpha=3\Rightarrow tan\alpha=\dfrac{1}{3}\) (do \(tan\alpha.cot\alpha=1\))

 Có \(\dfrac{1}{sin^2\alpha}=1+cot^2\alpha=1+3^2=10\) \(\Rightarrow sin^2\alpha=\dfrac{1}{10}\) \(\Rightarrow sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)

 Lại có \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\) \(\Rightarrow cos\alpha=\sqrt{1-sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right)^2}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}\) 

a) cot²∝ + 1

= cos²∝/sin²∝ + 1

= (cos²∝ + sin²∝)/sin²∝

= 1/sin²∝

b) cot∝ = 3

⇒ cot²∝ + 1 = 10

⇒ 1/sin²∝ = 10

⇒ sin²∝ = 1/10

⇒ sin∝ = √10/10 (do nhọn)

Lại có:

sin²∝ + cos²∝ = 1

⇒ cos²∝ = 1 - sin²∝

= 1 - 1/10

= 9/10

⇒ cos∝ = 3√10/10

cot∝ = 3

⇒ tan∝ = 1/3

a: \(1+cot^2\alpha=\dfrac{1}{sin^2\alpha}\)

=>\(cot^2\alpha=1:\dfrac{1}{9}-1=9-1=8\)

=>\(cot\alpha=2\sqrt{2}\)

=>\(tan\alpha=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)

b: \(1+tan^2\alpha=\dfrac{1}{cos^2\alpha}\)

=>\(1+tan^2\alpha=1:\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2=\dfrac{5}{4}\)

=>\(tan^2\alpha=\dfrac{1}{4}\)

=>\(tan\alpha=\dfrac{1}{2}\)

Câu 3.2

Để pt có 2 nghiệm pb thì:

$\Delta=(2m+3)^2+4(2m+4)>0$

$\Leftrightarrow (2m+3)^2+4(2m+3)+4>0$

$\Leftrightarrow (2m+3+2)^2>0\Leftrightarrow (2m+5)^2>0$

$\Leftrightarrow 2m+5\neq 0$

$\Leftrightarrow m\neq \frac{-5}{2}$

Áp dụng định lý Viet, với $x_1,x_2$ là nghiệm của pt (1) thì:

$x_1+x_2=2m+3$

$x_1x_2=-2m-4$

$\Rightarrow x_1+x_2+x_1x_2+1=0$

$\Leftrightarrow (x_1+1)(x_2+1)=0$

$\Leftrightarrow x_1=-1$ hoặc $x_2=-1$

Nếu $x_1=-1$ thì $x_2=2m+4$. Nếu $x_2=-1$ thì $x_1=2m+4$

Không mất tổng quát giả sử $x_1=-1; x_2=2m+4$

Khi đó:

$|x_1|+|x_2|=5$

$\Leftrightarrow |-1|+|2m+4|=5$

$\Leftrightarrow |2m+4|=4$

$\Leftrightarrow 2m+4=\pm 4$

$\Leftrightarrow m=0$ hoặc $m=-4$

Do $m> \frac{-5}{2}$ nên $m=0$

Lời giải:
a.

Khi $m=1$ thì PT trở thành:
$x^2-4x+4=0$

$\Leftrightarrow (x-2)^2=0\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2$
b.

Để PT có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$ thì:

$\Delta'=(m+1)^2-(m^2-2m+5)>0$

$\Leftrightarrow m>1$
Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=2(m+1)$

$x_1x_2=m^2-2m+5$

Với $m>1$ thì $x_1+x_2=2(m+1)>0; x_1x_2=m^2-2m+5>0$

$\Rightarrow x_1>0; x_2>0$
Khi đó:

$\sqrt{4x_1^2+4mx_1+m^2}+\sqrt{x_2^2+4mx_2+4m^2}=7m+2$

$\Leftrightarrow \sqrt{(2x_1+m)^2}+\sqrt{(x_2+2m)^2}=7m+2$

$\Leftrightarrow |2x_1+m|+|x_2+2m|=7m+2$

$\Leftrightarrow 2x_1+m+x_2+2m=7m+2$

$\Leftrightarrow x_1+(x_1+x_2)=4m+2$

$\Leftrightarrow x_1+2m+2=4m+2$

$\Leftrightarrow x_1=2m$

$x_2=2(m+1)-x_1=2$
$m^2-2m+5=x_1x_2=2m.2=4m$

$\Leftrightarrow m^2-6m+5=0$

$\Leftrightarrow (m-1)(m-5)=0$

Do $m>1$ nên $m=5$

Lời giải:
a.

Khi $m=1$ thì PT trở thành:
𝑥2−4𝑥+4=0x2−4x+4=0

⇔(𝑥−2)2=0⇔𝑥−2=0⇔𝑥=2⇔(x−2)2=0⇔x−2=0⇔x=2
b.

Để PT có 2 nghiệm pb 𝑥1,𝑥2x1​,x2​ thì:

Δ′=(𝑚+1)2−(𝑚2−2𝑚+5)>0Δ′=(m+1)2−(m2−2m+5)>0

$\iff m>1$
Áp dụng định lý Viet:

𝑥1+𝑥2=2(𝑚+1)x1​+x2​=2(m+1)

𝑥1𝑥2=𝑚2−2𝑚+5x1​x2​=m2−2m+5

Với $m>1$ thì 𝑥1+𝑥2=2(𝑚+1)>0;𝑥1𝑥2=𝑚2−2𝑚+5>0x1​+

Câu 3:

Ta thấy $\Delta'=(m^2+2)^2+2m^2+5>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên PT luôn có 2 nghiệm pb với mọi $m$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=-2(m^2+2)$

$x_1x_2=-2m^2-5$
$\Rightarrow x_1x_2+1=x_1+x_2$

$\Leftrightarrow (x_1-1)(x_2-1)=0$

$\Leftrightarrow x_1=1$ hoặc $x_2=1$

Nếu $x_2=1$ thì $x_1=(-2m^2-5):x_2=-2m^2-5$

Mà $x_1>x_2$ nên $-2m^2-5>1$ (vô lý) 

Do đó $x_1=1$. Khi đó $x_2=-2m^2-5$

Ta có:

$x_1x_2+8x_1^3+5=0$

$\Leftrightarrow -2m^2-5+8+5=0$

$\Leftrightarrow 8=2m^2$

$\Leftrightarrow m^2=4\Leftrightarrow m=\pm 2$

 Mình gửi hình nhé

Test 1

1 C

2 B

3 D

Test 12

1 D

2 B

3 A

Test 13

1 C

3 A

3 C

Test 14

1 A

2 D

3 A

Test 15

1 C

2 C

3 B

Test 16

1 B

2 D

3 A

Test 17

1 A

2 D

3 A

Test 18

1 D

2 C

3 A

Test 19

1 B

2 C

3 D

Test 20

1 C

2 D

3 D

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x\ne9\end{matrix}\right.\)

\(B=\left(\dfrac{3}{x+3\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-3}\right)\cdot\dfrac{x-9}{\sqrt{x}}\)

\(=\left(\dfrac{3}{\sqrt{x}\cdot\left(\sqrt{x}+3\right)}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-3}\right)\cdot\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{3\left(\sqrt{x}-3\right)-x-3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\cdot\left(\sqrt{x}+3\right)\cdot\sqrt{x}}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{3\sqrt{x}-9-x-3\sqrt{x}}{x}=\dfrac{-x-9}{x}\)