Ta có: \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}-\left(\frac{a^2}{a+c}+\frac{b^2}{b+a}+\frac{c^2}{c+b}\right)\)

\(=\frac{a^2-b^2}{a+b}+\frac{b^2-c^2}{b+c}+\frac{c^2-a^2}{c+a}\)

\(=\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{\left(c-a\right)\left(c+a\right)}{c+a}\)

=a-b+b-c+c-a

=0

=>\(\frac{2020}{2021}-P=0\)

=>\(P=\frac{2020}{2021}\)

\(\text{Δ}=\left(m+3\right)^2-4\left(m-1\right)\)

\(=m^2+6m+9-4m+4\)

\(=m^2+2m+13=\left(m+1\right)^2+12>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m+3\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1< \dfrac{1}{2}< x_2\)

=>\(\left(x_1-\dfrac{1}{2}\right)\left(x_2-\dfrac{1}{2}\right)< 0\)

=>\(x_1x_2-\dfrac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)+\dfrac{1}{4}< 0\)

=>\(m-1-\dfrac{1}{2}\left(m+3\right)+\dfrac{1}{4}< 0\)

=>\(m-\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2}m-\dfrac{3}{2}< 0\)

=>\(\dfrac{1}{2}m< \dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{4}\)

=>\(m< \dfrac{9}{4}\cdot2=\dfrac{9}{2}\)

Gọi khối lượng riêng của chất lỏng I là \(x\left(\frac{\operatorname{kg}}{m^3}\right)\)

(Điều kiện: x>150)

Khối lượng riêng của chất lỏng II là x-150\(\left(\frac{\operatorname{kg}}{m^3}\right)\)

Thể tích của chất lỏng I là \(\frac{10}{x}\left(m^3\right)\)

Thể tích của chất lỏng II là \(\frac{7}{x-150}\left(m^3\right)\)

Khối lượng của hỗn hợp chất lỏng là 10+7=17(kg)

Khối lượng riêng của hỗn hợp chất lỏng là

\(\frac{17}{\frac{10}{x}+\frac{7}{x-150}}\left(\frac{\operatorname{kg}}{m^3}\right)\)

Theo đề, ta có: \(\frac{17}{\frac{10}{x}+\frac{7}{x-150}}=425\)

=>\(\frac{10}{x}+\frac{7}{x-150}=\frac{1}{25}\)

=>\(\frac{10x-1500+7x}{x\left(x-150\right)}=\frac{1}{25}\)

=>\(x\left(x-150\right)=25\left(17x-1500\right)\)

=>\(x^2-150x=425x-37500\)

=>\(x^2-575x+37500=0\)

=>(x-500)(x-75)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x=500\left(nhận\right)\\ x=75\left(loại\right)\end{array}\right.\)

vậy: khối lượng riêng của chất lỏng I là \(500\left(\frac{\operatorname{kg}}{m^3}\right)\)

Ta có: \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}-\left(\frac{a^2}{a+c}+\frac{b^2}{b+a}+\frac{c^2}{c+b}\right)\)

\(=\frac{a^2-b^2}{a+b}+\frac{b^2-c^2}{b+c}+\frac{c^2-a^2}{c+a}\)

\(=\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{\left(c-a\right)\left(c+a\right)}{c+a}\)

=a-b+b-c+c-a

=0

=>\(\frac{2020}{2021}-P=0\)

=>\(P=\frac{2020}{2021}\)

?