a: Xét ΔABC có EF//BC

nên \(\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AE}{AB}\)

=>\(\dfrac{EF}{16}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}\)

=>\(EF=\dfrac{16}{4}=4\left(cm\right)\)

b: Xét ΔDEF có MC//EF

nên \(\dfrac{EM}{DM}=\dfrac{FC}{CD}=\dfrac{FC}{EB}\)(1)

Xét ΔABC có EF//BC

nên \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

=>\(\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AF}\)

=>\(\dfrac{AB}{AE}-1=\dfrac{AC}{AF}-1\)

=>\(\dfrac{BE}{AE}=\dfrac{CF}{AF}\)

=>\(\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{AF}{CF}\)

=>\(\dfrac{AE+BE}{BE}=\dfrac{AF+CF}{CF}\)

=>\(\dfrac{AB}{BE}=\dfrac{AC}{CF}\)

=>\(\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{CF}{BE}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\dfrac{EM}{DM}=\dfrac{AC}{AB}\)

a: Xét ΔABC có

M,N lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>MN là đường trung bình của ΔABC

=>MN//BC và \(MN=\dfrac{BC}{2}\)

=>\(MN=\dfrac{6}{2}=3\left(cm\right)\)

b: 

Xét ΔNAM có NK là phân giác

nên \(\dfrac{MK}{KA}=\dfrac{MN}{NA}\)

=>\(\dfrac{MK}{KA}=\dfrac{BC}{2}:NC=\dfrac{BC}{2NC}\)

=>\(\dfrac{BC}{NC}=\dfrac{2MK}{KA}\left(1\right)\)

Xét ΔNCB có CI là phân giác

nên \(\dfrac{IB}{IN}=\dfrac{BC}{CN}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{2MK}{KA}=\dfrac{IB}{IN}\)

Câu 2:

a. ĐKXĐ: $x\neq \pm 2; x\neq -3$

\(A=\frac{(x+3)(x-5)}{(x+2)(x+3)}-\frac{6x-4}{(x-2)(x+2)}-\frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}\\ =\frac{x-5}{x+2}-\frac{6x-4}{(x-2)(x+2)}-\frac{x^2+2x}{(x-2)(x+2)}\\ =\frac{(x-5)(x-2)}{(x+2)(x-2)}-\frac{6x-4}{(x-2)(x+2)}-\frac{x^2+2x}{(x-2)(x+2)}\\ =\frac{x^2-7x+10-6x+4-x^2-2x}{(x-2)(x+2)}=\frac{-15x+14}{(x-2)(x+2)}\)

Khi $x^2-3x-4=0$

$\Leftrightarrow (x+1)(x-4)=0$

$\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=4$

Nếu $x=-1$ thì:

$A=\frac{-15(-1)+14}{(-1-2)(-1+2)}=\frac{-29}{3}$

Nếu $x=4$ thì:

$A=\frac{-15.4+14}{(4-2)(4+2)}=\frac{-23}{6}$

Lần sau bạn có thể gõ đề hẳn ra để mọi người quan sát dễ hơn nhé. Đề mờ có thể một số bạn không đọc được.

a) ĐK: \(x\ne\pm2\)

b) \(A=\left(\dfrac{x}{x^2-4}+\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{2}{x-2}\right):\left(1-\dfrac{x}{x+2}\right)\)

\(=\left[\dfrac{x}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}+\dfrac{x-2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\dfrac{2\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\right]:\left[\dfrac{x+2}{x+2}-\dfrac{x}{x+2}\right]\)

\(=\dfrac{x+x-2-2x-4}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}:\dfrac{2}{x+2}\)

\(=\dfrac{-6}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\cdot\dfrac{x+2}{2}\)

\(=\dfrac{-3}{x-2}\) 

a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

AB=AC

\(\hat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB=ΔAFC

=>AE=AF; BE=CF

Xét ΔABC có \(\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)

nên FE//BC

=>BFEC là hình thang

Hình thang BFEC có \(\hat{FBC}=\hat{ECB}\)

nên BFEC là hình thang cân

b: ΔAFH vuông tại F

mà FO là đường trung tuyến

nên OF=OA=OH=AH/2(1)

ΔAEH vuông tại E

mà EO là đường trung tuyến

nên \(OE=OH=OA=\frac12AH\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra OF=OA=OH=OE

I nằm trên đường trung trực của MF

=>IM=IF

=>ΔIMF cân tại I

=>\(\hat{IMF}=\hat{IFM}\)

mà \(\hat{IFM}=\hat{AEF}\) (ΔAEF cân tại A)

nên \(\hat{IMF}=\hat{AEF}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên IM//AE

=>IM//AK

K nằm trên đường trung trực của ME

=>KM=KE

=>ΔKME cân tại K

=>\(\hat{KME}=\hat{KEM}\)

mà \(\hat{KEM}=\hat{AFE}\) (ΔAEF cân tại A)

nên \(\hat{KME}=\hat{AFE}\)

=>KM//AF

=>KM//AI

Xét tứ giác AKMI có

AK//MI

AI//MK

Do đó: AKMI là hình bình hành

=>AK=MI

mà MI=IF

nên AK=IF

Xét ΔAFH vuông tại F và ΔAEH vuông tại E có

AH chung

AF=AE

Do đó: ΔAFH=ΔAEH

=>\(\hat{FAH}=\hat{EAH}\)

=>\(\hat{OAK}=\hat{FAO}\)

mà \(\hat{FAO}=\hat{OFA}=\hat{OFI}\) (ΔOAF cân tại O)

nên \(\hat{OAK}=\hat{OFI}\)

Xét ΔOAK và ΔOFI có

OA=OF

\(\hat{OAK}=\hat{OFI}\)

AK=FI

Do đó: ΔOAK=ΔOFI

=>OK=OI

c: Gọi D là giao điểm của AM và KI

AIMK là hình bình hành

=>AM cắt KI tại trung điểm của mỗi đường

=>D là trung điểm chung của AM và KI

ΔOKI cân tại O

mà OD là đường trung tuyến

nên OD⊥KI tại D

Xét ΔAHM có

O,D lần lượt là trung điểm của AH,AM

=>OD là đường trung bình của ΔAHM

=>OD//HM

=>KI⊥HM

=>HM⊥KN

KM//AI

=>KM//AB

mà CF⊥AB

nên KM⊥CF

=>KM⊥HN

Xét ΔKHN có

KM,HM là các đường cao

KM cắt HM tại M

Do đó: M là trực tâm của ΔKHN

=>HK⊥MN

a: Xét tứ giác BMEN có \(\hat{BME}=\hat{BNE}=\hat{MBN}=90^0\)

Do đó: BMEN là hình chữ nhật

b: ΔBAC vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=12^2+16^2=144+256=400=20^2\)

=>AC=20(cm)

Xét ΔCEB vuông tại E và ΔCBA vuông tại B có

\(\hat{ECB}\) chung

Do đó: ΔCEB~ΔCBA

=>\(\frac{CE}{CB}=\frac{CB}{CA}\)

=>\(CE\cdot CA=CB^2\)

=>\(CE=\frac{12^2}{20}=\frac{144}{20}=7,2\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔBEC vuông tại E

=>\(BE^2+EC^2=BC^2\)

=>\(BE^2=12^2-7,2^2=92,16\)

=>BE=9,6(cm)

BMEN là hình chữ nhật

=>BE=MN

=>MN=9,6(cm)

c: BMEN là hình chữ nhật

=>\(\hat{NME}=\hat{NBE}\)

Ta có: \(\hat{NME}+\hat{HME}=\hat{HMN}=90^0\)

=>\(\hat{HME}+\hat{NBE}=90^0\)

mà \(\hat{NBE}=\hat{EAB}\left(=90^0-\hat{EBA}\right)\)

nên \(\hat{HME}+\hat{EAB}=90^0\)

mà \(\hat{EAB}+\hat{HEM}=90^0\) (ΔEMA vuông tại M)

nên \(\hat{HEM}=\hat{HME}\)

=>HE=HM

Ta có: \(\hat{HEM}+\hat{HAM}=90^0\) (ΔEAM vuông tại M)

\(\hat{EMH}+\hat{AMH}=\hat{EMA}=90^0\)

mà \(\hat{HEM}=\hat{HME}\)

nên \(\hat{HAM}=\hat{HMA}\)

=>HM=HA

mà HE=HM

nên HA=HE

=>H là trung điểm của AE

BMEN là hình chữ nhật

=>BE cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

=>G là trung điểm chung của BE và MN

Xét ΔAEB vuông tại E và ΔABC vuông tại B có

\(\hat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔABC

=>\(\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(AE\cdot AC=AB^2\)

Xét ΔEAB có

G,H lần lượt là trung điểm của EB,EA

=>GH là đường trung bình của ΔEAB

=>\(GH=\frac12AB\)

=>\(GH^2=\frac14\cdot AB^2=\frac14\cdot AE\cdot AC=\frac14\cdot2\cdot AH\cdot AC=\frac12\cdot AH\cdot AC\)

a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

AB=AC

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔAEB=ΔAFC

=>AE=AF

Xét ΔABC có \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

nên EF//BC

Xét tứ giác BFEC có FE//BC

nên BFEC là hình thang

Hình thang BFEC có BE=FC

nên BFEC là hình thang cân

Nửa chu vi khu vườn là 450:2=225(m)

Gọi chiều dài khu vườn là x(m)

(ĐK: \(x>\dfrac{225}{2}=112,5\))

Chiều rộng khu vườn là 225-x(m)

Chiều dài khu vườn lúc sau là \(x\left(1-\dfrac{1}{5}\right)=\dfrac{4}{5}x\left(m\right)\)

Chiều rộng khu vườn lúc sau là \(\left(225-x\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{5}{4}\left(225-x\right)\left(m\right)\)

Chu vi không đổi nên ta có phương trình:

\(\dfrac{4}{5}x+\dfrac{5}{4}\left(225-x\right)=225\)

=>\(\dfrac{4}{5}x+\dfrac{1125}{4}-\dfrac{5}{4}x=225\)

=>\(\dfrac{-9}{20}x=225-\dfrac{1125}{4}\)

=>\(\dfrac{-9}{20}x=-56,25\)

=>x=125(nhận)

Chiều rộng khu vườn là 225-125=100(m)

Vậy: Chiều dài là 125m; chiều rộng là 100m

1\6>5\9

Đổi 10p=1/6(giờ)

Sau 1/6 giờ thì xe máy đi được \(40\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{20}{3}\left(km\right)\)

Độ dài quãng đường còn lại là \(120-\dfrac{20}{3}=\dfrac{340}{3}\left(km\right)\)

Tổng vận tốc hai xe là 60+40=100(km/h)

Hai xe gặp nhau sau khi xe ô tô đi được:

\(\dfrac{340}{3}:100=\dfrac{340}{300}=\dfrac{17}{15}\left(giờ\right)\)

Tác giả Nguyễn Đình Chiểu nha

Nguyễn Đình Chiểu á