1.

Ta có:

\(\left(n+1\right)^2=n^2+2n+1>n\left(n+2\right)\)

Lấy logarit 2 vế:

\(ln\left(n+1\right)^2>ln\left[n\left(n+2\right)\right]\)

\(\Rightarrow2ln\left(n+1\right)>ln\left(n\right)+ln\left(n+2\right)\ge2\sqrt{ln\left(n\right).ln\left(n+2\right)}\)

\(\Rightarrow ln^2\left(n+1\right)>ln\left(n\right).ln\left(n+2\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{ln\left(n+1\right)}{ln\left(n\right)}>\dfrac{ln\left(n+2\right)}{ln\left(n+1\right)}\)

\(\Rightarrow log_n\left(n+1\right)>log_{n+1}\left(n+2\right)\)

2.

\(\int\dfrac{x^3-1}{x^4+x}dx=\int\dfrac{2x^3-\left(x^3+1\right)}{x\left(x^3+1\right)}dx=\int\dfrac{2x^2}{x^3+1}dx-\int\dfrac{1}{x}dx\)

\(=\dfrac{2}{3}\int\dfrac{d\left(x^3+1\right)}{x^3+1}-\int\dfrac{dx}{x}\)

\(=\dfrac{2}{3}ln\left|x^3+1\right|-ln\left|x\right|+C\)

Ta có: \(\left(cos3x-1\right)\left(\tan x+\sqrt3\right)=0\)

TH1: cos3x-1=0

=>cos3x=1

=>\(3x=k2\pi\)

=>\(x=\frac{k2\pi}{3}\)

\(x\in\left(0;2024\pi\right)\)

=>\(\frac{k2\pi}{3}\in\left(0;2024\pi\right)\)

=>\(\frac{2k}{3}\in\left(0;2024\right)\)

=>\(k\in\left(0;3036\right)\)

mà k nguyên

nên k∈{1;2;3;...;3035}

=>Có 3035 nghiệm nếu cos3x-1=0(1)

TH2: \(tanx+\sqrt3=0\)

=>\(\tan x=-\sqrt3\)

=>\(x=-\frac{\pi}{3}+k\pi\)

\(x\in\left(0;2024\pi\right)\)

=>\(-\frac{\pi}{3}+k\pi\in\left(0;2024\pi\right)\)

=>\(k-\frac13\in\left(0;2024\right)\)

=>\(k\in\left(\frac13;2024\frac13\right)\)

mà k nguyên

nên k∈{1;2;3;...;2024}

=>Có 2024 nghiệm nếu \(\tan x=-\sqrt3\) (2)

Từ (1),(2) suy ra trong khoảng \(\left(0;2024\pi\right)\) thì phương trình \(\left(cos3x-1\right)\left(\tan x+\sqrt3\right)=0\) có 2024+3035=5059 nghiệm

Bản vẽ được thể hiện trong hình vẽ không đáp ứng được nguyên tắc đầy đủ về kĩ thuật là vì bản vẽ thiếu một kích thước nên không thể xác định cụ thể hình ảnh của vật và bản vẽ không có hình khối (3D) mô phỏng hình ảnh của vật 

Kích thước bị thiếu là: