Bài 4. (0,5 điểm) Từ hai vị trí $A$ và $B$ của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh $C$ của ngọn núi.

Biết rằng độ cao $AB=70$ m, phương nhìn $AC$ tạo với phương nằm ngang góc ${{30}^{\circ}}$, phương nhìn $BC$ tạo với phương nằm ngang góc ${{15}^{\circ}}30'$ (tham khảo hình vẽ trên). Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất là bao nhiêu mét?

Bài 3. (1 điểm)

a) Một người đi dọc bờ biển từ vị trí $A$ đến vị trí $B$ và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí $A$, $B$ tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là ${{30}^{\circ}}$ và ${{55}^{\circ}}$ (hình vẽ minh họa).

Biết khoảng cách giữa hai vị trí $A$, $B$ là $40$ m và bờ biền có phương nằm ngang. Hỏi ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

b) Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{C}=60^\circ, \, a=5, \, b=8$. Tính cạnh $c$ và diện tích $S$ của tam giác $ABC$.

Bài 2. (1 điểm)

a) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $3x+y\ge -2$ trên mặt phẳng tọa độ.

b) Một người ăn kiêng muốn trộn hai loại thức ăn $A$ và $B$, để tạo ra một hỗn hợp chứa ít nhất $50$ g protein, ít nhất $130$ mg canxi và không quá $550$ calo. Giá trị dinh dưỡng của thức ăn loại $A$ và loại $B$ được cho trong bảng sau:

Biết rằng giá tiền một ly thức ăn loại $A$ là $120 \, 000$ đồng, một ly thức ăn loại $B$ là $50 \, 000$ đồng. Hỏi người ăn kiêng phải sử dụng bao nhiêu ly thức ăn mỗi loại để số tiền bỏ ra là ít nhất?

Bài 2. (1,5 điểm)

a) Xác định miền nghiệm của bất phương trình $2x - y \ge 0$.

b) Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần $2$kg nguyên liệu và $30$ giờ, đem lại mức lãi $40$ $000$ đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần $4$kg nguyên liệu và $15$ giờ, đem lại mức lãi $30$ $000$ đồng. Xưởng có $200$kg nguyên liệu và $120$ giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lãi cao nhất?

Bài 2 (1 điểm)

a) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bpt $\left\{ \begin{aligned} & x\ge 0 \\ & 0\le y\le 4 \\ & x+y\le 7 \\ & x+3y\le 15 \\ \end{aligned} \right.$.

b) Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một sản phẩm loại I cần dùng $1$ máy nhóm A và $1$ máy nhóm B. Để sản xuất ra một sản phẩm loại $2$ cần dùng $1$ máy nhóm A, $3$ máy nhóm B và $2$ máy nhóm C. Nhà máy có $7$ máy nhóm A, $15$ máy nhóm B, $8$ máy nhóm C. Biết một sản phẩm loại I lãi $10$ nghìn đồng, một sản phẩm loại II lãi $15$ nghìn đồng. Hãy lập phương án để việc sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi là cao nhất.