ΔABM vuông tại M

=>\(AM^2+MB^2=AB^2\)

=>\(AM^2=12^2-6^2=144-36=108\)

=>\(AM=\sqrt{108}=6\sqrt3\) (cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AM là đường cao

nên \(AM^2=MB\cdot MC\)

=>\(MC=\frac{\left(6\sqrt3\right)^2}{6}=\frac{108}{6}=18\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔAMC vuông tại M

=>\(AM^2+MC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=108+324=432\)

=>\(AC=\sqrt{432}=\sqrt{16\cdot27}=\sqrt{144\cdot3}=12\sqrt3\) (cm)

BC=BM+CM

=>BC=18+6

=>BC=24(cm)

Gọi P(x),R(x) lần lượt là thương và dư khi chia f(x) cho \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\)

=>\(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\cdot P\left(x\right)+R\left(x\right)\)

Khi chia f(x) cho \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\) sẽ được dư là một đa thức bậc hai

=>Dư là \(R\left(x\right)=a\cdot x^2+bx+c\)

=>\(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\cdot P\left(x\right)+a\cdot x^2+bx+c\)

f(x) chia x+1 dư 4 nên f(-1)=4

Thay x=-1 vào f(x), ta được:

\(f\left(-1\right)=\left(-1+1\right)\left\lbrack\left(-1\right)^2+1\right\rbrack\cdot P\left(x\right)+a\cdot\left(-1\right)^2+b\cdot\left(-1\right)+c\)

=>a-b+c=4

Ta có: \(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\cdot P\left(x\right)+a\cdot x^2+bx+c\)

\(=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\cdot P\left(x\right)+a\cdot x^2+a+bx+c-a\)

\(=\left(x^2+1\right)\left\lbrack\left(x+1\right)\cdot P\left(x\right)+a\right\rbrack+bx+c-a\)

f(x) chia \(x^2+1\) dư 2x+3 nên bx+c-a=2x+3

=>b=2; c-a=3

a-b+c=4

=>a+c=4+b=4+2=6

mà c-a=3

nên \(c=\frac{3+6}{2}=4,5;a=4,5-3=1,5\)

Vậy: Đa thức dư là \(R\left(x\right)=1,5x^2+2x+4,5\)

Sửa đề: Cho ΔABC có BD,CE,AH là các đường cao, Gọi I,K lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh ED//IK

Xét ΔAHB vuông tại H có HI là đường cao

nên \(AI\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HK là đường cao

nên \(AK\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AI\cdot AB=AK\cdot AC\)

=>\(\frac{AI}{AK}=\frac{AC}{AB}\) (3)

Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

\(\hat{DAB}\) chung

Do đó: ΔADB~ΔAEC

=>\(\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(\frac{AI}{AK}=\frac{AE}{AD}\)

=>\(\frac{AE}{AI}=\frac{AD}{AK}\)

Xét ΔAIK có \(\frac{AE}{AI}=\frac{AD}{AK}\)

nên ED//IK