Bài 1.6: Trên cạnh AD, lấy E sao cho AE=AB

Xét ΔAEC và ΔABC có

AE=AB

\(\hat{EAC}=\hat{BAC}\)

AC chung

Do đó: ΔAEC=ΔABC

=>CE=CB và \(\hat{AEC}=\hat{ABC}\)

Ta có: \(\hat{AEC}+\hat{DEC}=180^0\) (hai góc kề bù)

\(\hat{ABC}+\hat{ADC}=180^0\)

mà \(\hat{AEC}=\hat{ABC}\)

nên \(\hat{CED}=\hat{CDE}\)

=>CE=CD

mà CE=CB

nên CD=CB

BÀi 1.7:

Trên tia đối của tia AD, lấy E sao cho AE=CD

Ta có: \(\hat{BAE}+\hat{BAD}=180^0\)

\(\hat{BCD}+\hat{BAD}=180^0\)

Do đó: \(\hat{BAE}=\hat{BCD}\)

Xét ΔBAE và ΔBCD có

BA=BC

\(\hat{BAE}=\hat{BCD}\)

AE=CD

Do đó: ΔBAE=ΔBCD

=>BE=BD

=>ΔBED cân tại B

=>\(\hat{BED}=\hat{BDE}\)

mà \(\hat{BED}=\hat{BEA}=\hat{BDC}\) (ΔBEA=ΔBDC)

nên \(\hat{BDA}=\hat{BDC}\)

=>DB là phân giác của góc ADC

1.5:

a: Đặt \(a=\hat{A};b=\hat{B};c=\hat{C};d=\hat{D}\)

\(\hat{A}:\hat{B}:\hat{C}:\hat{D}=1:2:3:4\)

=>\(\frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{3}=\frac{d}{4}\)

Xét tứ giác ABCD có \(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360^0\)

=>a+b+c+d=360

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{3}=\frac{d}{4}=\frac{a+b+c+d}{1+2+3+4}=\frac{360^0}{10}=36^0\)

=>\(\begin{cases}a=36^0\cdot1=36^0\\ b=36^0\cdot2=72^0\\ c=36^0\cdot3=108^0\\ d=36^0\cdot4=144^0\end{cases}\=>\begin{cases}\hat{A}=36^0\\ \hat{B}=72^0\\ \overline{}\hat{C}=108^0\\ \hat{D}=144^0\end{cases}\)

b: Xét ΔEAB có \(\hat{EAB}+\hat{EBA}+\hat{AEB}=180^0\)

=>\(\hat{AEB}=180^0-36^0-72^0=72^0\)

EF là phân giác của góc AEB

=>\(\hat{AEF}=\hat{BEF}=\frac12\cdot\hat{AEB}=\frac{72^0}{2}=36^0\)

Xét ΔFAE có \(\hat{FAE}=\hat{FEA}\left(=36^0\right)\)

nên ΔFAE cân tại F

=>FA=FE

Xét ΔFEB có \(\hat{FEB}+\hat{FBE}+\hat{EFB}=180^0\)

=>\(\hat{EFB}=180^0-72^0-36^0=72^0\)

Xét ΔEFB có \(\hat{EFB}=\hat{EBF}\left(=72^0\right)\)

nên ΔEBF cân tại E

=>EB=EF

mà FA=FE

nên FA=FE=EB

\(A=-x^2-6x+3\)

\(\Rightarrow A=-\left(x^2+6x\right)+3\)

\(\Rightarrow A=-\left(x^2+6x+9-9\right)+3\)

\(\Rightarrow A=-\left(x^2+6x+9\right)+3+9\)

\(\Rightarrow A=-\left(x+3\right)^2+12\le12\left(-\left(x+3\right)^2\le0,\forall x\right)\)

\(\Rightarrow Max\left(A\right)=12\left(tạix=-3\right)\)

Max(A)=12(tạix=−3)

\(D=-2x^2+3x-1\)

\(\Rightarrow D=-2\left(x^2-\dfrac{3}{2}x\right)-1\)

\(\Rightarrow D=-2\left(x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{4}\right)-1\)

\(\Rightarrow D=-2\left(x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{4}\right)-1+\dfrac{9}{2}\)

\(\Rightarrow D=-2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{7}{2}\le-\dfrac{7}{2}\left(-2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2\le0,\forall x\right)\)

\(\Rightarrow Max\left(D\right)=-\dfrac{7}{2}\left(tạix=\dfrac{3}{2}\right)\)

MAX_D = -7/2 khi x = 3/2

\(C=-x^2-3x+4\)

\(\Rightarrow C=-\left(x^2+3x\right)+4\)

\(\Rightarrow C=-\left(x^2+3x+\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{4}\right)+4\)

\(\Rightarrow C=-\left(x^2+3x+\dfrac{9}{4}\right)+4+\dfrac{9}{4}\)

\(\Rightarrow C=-\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{25}{4}\le\dfrac{25}{4}\left(-\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2\le0,\forall x\right)\)

\(\Rightarrow Max\left(C\right)=\dfrac{25}{4}\left(tạix=-\dfrac{3}{2}\right)\)

MAX_C = 25/4 khi x =-3/2

\(B=-x^2+8x-1=-\left(x^2-2.x.4+4^2\right)+15=-\left(x-4\right)^2+15\\ Vì:\left(x-4\right)^2\ge0\forall x\in R\\ \Rightarrow15-\left(x-4\right)^2\le15\forall x\in R\\ Vậy:max_B=15.khi.x=4\)

MAX_B = 15 khi x = 4

A = \(-x^2\)\(-6x+3\)

A = \(-x^2\)\(-6x+9-6\)

A = \(-\left(x-3\right)^2\)\(-6\) ≤ \(-6\)

Dấu "=" xảy ra ⇔ \(x-3=0\)

                        ⇔ \(x=3\)

Vậy Amax =\(-6\) ⇔ \(x=3\)

\(H=5x^2-x+1\)

\(\Rightarrow H=5\left(x^2-\dfrac{1}{5}x\right)+1\)

\(\Rightarrow H=5\left(x^2-\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{100}-\dfrac{1}{100}\right)+1\)

\(\Rightarrow H=5\left(x^2-\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{100}\right)+1-\dfrac{1}{20}\)

\(\Rightarrow H=5\left(x-\dfrac{1}{10}\right)^2+\dfrac{19}{20}\ge\dfrac{19}{20}\left(5\left(x-\dfrac{1}{10}\right)^2\ge0,\forall x\right)\)

\(\Rightarrow Min\left(H\right)=\dfrac{19}{20}\left(tạix=\dfrac{1}{10}\right)\)

\(G=4x^2+2x-1\)

\(\Rightarrow G=4\left(x^2+\dfrac{1}{2}x\right)-1\)

\(\Rightarrow G=4\left(x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{16}\right)-1-\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow G=4\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{5}{4}\ge-\dfrac{5}{4}\left(4\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2\ge0,\forall x\right)\)

\(\Rightarrow Min\left(G\right)=-\dfrac{5}{4}\left(tạix=-\dfrac{1}{4}\right)\)

Tìm min:

$F=3x^2+x-2=3(x^2+\frac{x}{3})-2$

$=3[x^2+\frac{x}{3}+(\frac{1}{6})^2]-\frac{25}{12}$

$=3(x+\frac{1}{6})^2-\frac{25}{12}\geq \frac{-25}{12}$

Vậy $F_{\min}=\frac{-25}{12}$. Giá trị này đạt tại $x+\frac{1}{6}=0$
$\Leftrightarrow x=\frac{-1}{6}$

Tìm min

$G=4x^2+2x-1=(2x)^2+2.2x.\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2-\frac{5}{4}$

$=(2x+\frac{1}{2})^2-\frac{5}{4}\geq 0-\frac{5}{4}=\frac{-5}{4}$ (do $(2x+\frac{1}{2})^2\geq 0$ với mọi $x$)

Vậy $G_{\min}=\frac{-5}{4}$. Giá trị này đạt tại $2x+\frac{1}{2}=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{-1}{4}$

\(A=\left(5x-2\right)^2-\left(6x+1\right)^2+11\left(x-2\right)\left(x+2\right)-16\left(3-2x\right)\\ =\left[\left(5x-2\right)+\left(6x+1\right)\right].\left[\left(5x-2\right)-\left(6x+1\right)\right]+11\left(x^2-4\right)-48+32x\\ =-\left(11x-1\right)\left(x+3\right)+11x^2-44-48+32x\\ =-11x^2-32x+3+11x^2-44-48+32x\\ =-11x^2+11x^2-32x+32x+3-44-48=-89\)

Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của x

\(B=4x\left(x-3\right)-\left(x-5\right)^2-3\left(x+1\right)^2+\left(2x+2\right)^2-\left(4x^2-5\right)\\ =4x^2-12x-\left(x^2-10x+25\right)-3\left(x^2+2x+1\right)+\left(4x^2+8x+4\right)-4x^2+5\\ =4x^2-x^2-3x^2+4x^2-4x^2-12x+10x-6x+8x+25-3+4+5\\ =31\)

Vậy giá trị biểu thức B không phụ thuộc biến x