\(17-\dfrac{12}{\sqrt[]{2}}=17-6\sqrt[]{2}=18-6\sqrt[]{2}+1-2\)

\(=\left(\sqrt[]{18}-1\right)^2-2=\left(3\sqrt[]{2}-1\right)^2-2\)

Bài 1 :

\(...\Rightarrow A=\dfrac{\sqrt[]{x}\left(\sqrt[]{x}+2\right)+\left(\sqrt[]{x}-1\right)\left(\sqrt[]{x}-2\right)}{\left(\sqrt[]{x}-2\right)\left(\sqrt[]{x}+2\right)}-\dfrac{\sqrt[]{x}-10}{x-4}\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{x+2\sqrt[]{x}+x-3\sqrt[]{x}+2}{x-4}-\dfrac{\sqrt[]{x}-10}{x-4}\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{2x-\sqrt[]{x}+2-\sqrt[]{x}+10}{x-4}\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{2x-2\sqrt[]{x}+12}{x-4}=\dfrac{2\left(x-\sqrt[]{x}+6\right)}{x-4}\)

Ta có:

\(P=\left(2+\sqrt{2}\right)^7+\left(2-\sqrt{2}\right)^7\)

\(P=2^7+7.2^6\sqrt{2}+21.2^5\left(\sqrt{2}\right)^2+...+7.2\left(\sqrt{2}\right)^6+\left(\sqrt{2}\right)^7\)\(+2^7-7.2^6\sqrt{2}+21.2^5\left(\sqrt{2}\right)^2-...+7.2\left(\sqrt{2}\right)^6-\left(\sqrt{2}\right)^7\)

\(P=2.2^7+2.21.2^5.\left(\sqrt{2}\right)^2+2.35.2^3.\left(\sqrt{2}\right)^4+2.7.2.\left(\sqrt{2}\right)^6\)

\(P=2^8+21.2^7+35.2^6+7.2^5\)

\(P=5408\)

\(\Rightarrow\left(2+\sqrt{2}\right)^7=5408-\left(2-\sqrt{2}\right)^7\)

Do \(0< \left(2-\sqrt{2}\right)^7< 1\) nên suy ra \(5047< \left(2+\sqrt{2}\right)^7< 5048\)

Vậy số nguyên lớn nhất không vượt quá \(\left(2+\sqrt{2}\right)^7\) là 5047.

(Sau này ta kí hiệu như thế này cho gọn.)

ĐKXĐ : \(x\inℝ\)

Ta có : x² + 4x + 7 = (x + 4)\(\sqrt{x^2+7}\)

\(\Leftrightarrow x^2+7+4x=x\sqrt{x^2+7}+4\sqrt{x^2+7}\) (*)

Đặt \(\sqrt{x^2+7}=a>0\)

Có (*) \(\Leftrightarrow a^2+4x=ax+4a\)

\(\Leftrightarrow\left(a-x\right).\left(a-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=x\\a=4\end{matrix}\right.\)

Với a = x \(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+7}=x\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+7=x^2\\x>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in\varnothing\)

Với a = 4 \(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+7}=4\Leftrightarrow x^2+7=16\Leftrightarrow x=\pm3\)

Thử lại thấy thỏa mãn

Tập nghiệm \(S=\left\{\pm3\right\}\)

\(x^2+4x+7=\left(x+4\right)\sqrt[]{x^2+7}\)

\(\Leftrightarrow x^2+7+4x=\left(x+4\right)\sqrt[]{x^2+7}\left(1\right)\)

Đặt \(t=\sqrt[]{x^2+7}\left(t\ge0\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow t^2+4x=\left(x+4\right).t\)

\(\Leftrightarrow t^2-\left(x+4\right).t+4x=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-tx-4.t+4x=0\)

\(\Leftrightarrow t\left(t-x\right)-4\left(t-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-x\right)\left(t-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t-x=0\\t-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=x\\t=4\end{matrix}\right.\)

- Với \(t=x\Leftrightarrow\sqrt[]{x^2+7}=x\Leftrightarrow x^2+7=x^2\Leftrightarrow0.x^7=7\left(loại\right)\)

- Với \(t=4\Leftrightarrow\sqrt[]{x^2+7}=4\Leftrightarrow x^2+7=16\Leftrightarrow x^2=9\Leftrightarrow x=\pm3\)

Vậy nghiệm phương trình là \(\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-3\end{matrix}\right.\)

Dễ dàng chứng minh \(OM.OC=OA^2=OD^2\). \(\Rightarrow\Delta OMD~\Delta ODC\left(c.g.c\right)\) \(\Rightarrow\widehat{ODM}=\widehat{OCD}\)

Mà \(\widehat{OCD}=\widehat{ADC}\) (do OC//AD (\(\perp AB\))) nên suy ra \(\widehat{ADC}=\widehat{BDM}\) (đpcm)

Cách 1:

 Gọi I, J, M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của TK, TL, KB, LC, KA, LD.

 Ta có \(MB^2=MK^2\) \(\Rightarrow P_{M/\left(O\right)}=P_{M/\left(K;0\right)}\) \(\Rightarrow\) M nằm trên trục đẳng phương của (O) và (K;0). Tương tự, ta có P nằm trên trục đẳng phương của (O) và (K;0) nên MP là trục đẳng phương của (O) và (K;0)

 Hơn nữa, dễ thấy \(I\in MP\) nên \(P_{I/\left(O\right)}=P_{I/\left(K;0\right)}\Rightarrow P_{I/\left(O\right)}=IK^2\)

 Mà \(IK=IT\Rightarrow P_{I/\left(O\right)}=IT^2=P_{I/\left(T;0\right)}\)

 Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được \(P_{J/\left(O\right)}=P_{J/\left(T;0\right)}\), suy ra IJ là trục đẳng phương của (O) và (T;0) \(\Rightarrow IJ\perp OT\)

 Mà IJ//LK (IJ là đường trung bình của tam giác TLK) \(\Rightarrow OT\perp KL\) (đpcm)

A B O C M D E F K

Dựng tiếp tuyến với đường tròn tại B, gọi K là giao của tiếp tuyến với đường tròn tại M với tiếp tuyến với đường tròn tại B

Ta có

\(AF\perp AB;OD\perp AB;BK\perp AB\) => AF//OD//BK

\(\Rightarrow\dfrac{DE}{OA}=\dfrac{DK}{OB}\) (Talet)

Mà OA=OB

=> DE=DK (1)

Xét tg ABF có

OD//AF => \(\dfrac{DF}{OA}=\dfrac{DB}{OB}\) (Talet trong tg)

Mà OA=OB => DF=DB (2)

\(\widehat{EDF}=\widehat{KDB}\) (góc đối đỉnh)

Từ (1) (2) (3) => tg EDF = tg KDB (c.g.c)

=> EF=KB

Mà KB=KM (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài đường tròn thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm bằng nhau)

=> EF=KM

Ta có

EA=EM  (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài đường tròn thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm bằng nhau)

\(\Rightarrow EA.EF=EM.KM\)

Xét tg vuông EAO và tg vuông EMO có

EO chung

EA=EM (cmt)

=> tg EAO = tg EMO (Hai tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông bằng nhau) \(\Rightarrow\widehat{EOA}=\widehat{EOM}\) (4)

C/m tương tự ta cũng có tg KMO = tg KBO \(\Rightarrow\widehat{KOB}=\widehat{KOM}\) (5)

Mà \(\widehat{EOA}+\widehat{EOM}+\widehat{KOB}+\widehat{KOM}=180^o\) (6)

Từ (4) (5) (6) \(\Rightarrow\widehat{EOM}+\widehat{KOM}=\widehat{KOE}=90^o\)

=> tg KOE là tg vuông tại O

Ta có \(OM\perp KE\) (KE là tiếp tuyến với đường tròn tại M)

Xét tg vuông KOE có

\(OM^2=KM.EM\) (Trong tg vuông bình phương đường cao từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích giữa hình chiếu 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

\(\Rightarrow KM.EM=EF.EA=OM^2\) không đổi

B C P A H I O K x

Gọi I là giao của CP với AH; K là giao của CA với BP

\(sđ\widehat{CAx}=\dfrac{1}{2}sđcungAC\) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) (1)

\(sđ\widehat{BKC}=\dfrac{1}{2}\left(sđcungBC-sđcungAB\right)\) (góc có đỉnh ở ngoài hình tròn)

Ta có

\(sđcungBC=sđcungBAC\)

\(\Rightarrow sđcungBC-sđcungAB=sđcungBAC-sđcungAB=sđcungAC\)

\(\Rightarrow sđ\widehat{BKC}=\dfrac{1}{2}sđcungAC\) (2)

\(\widehat{CAx}=\widehat{KAP}\) (góc đối đỉnh) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{KAP}=\widehat{BKC}\) => tg APK cân tại P

=> PA=PK

Mà PA=PB (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm bằng nhau)

=> PK=PB

Ta có

\(BK\perp BC;AH\perp BC\) => AH//BK

Xét tg BCK có

\(\dfrac{IA}{PK}=\dfrac{IH}{PB}\) mà PK=PB (cmt) => IA=IH => I là trung điểm của AH

Số tự nhiên 2 chữ số  \(\overline{xy}=10x+y\)

Hai lần chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị : \(2x-y=1\left(1\right)\)

Khi viết ngược lại :

\(10y+x-\left(10x+y\right)=27\)

\(\Rightarrow10y+x-10x-y=27\)

\(\Rightarrow-9x+9y=27\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\) ta có hệ phương trình

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=1\\-9x+9y=27\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}18x-9y=9\\-18x+18y=54\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9y=63\\2x-y=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=7\\x=\dfrac{y+1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=7\end{matrix}\right.\)

Vậy số tự nhiên đó là 47

1: ĐKXĐ: \(9x^2-1<>0\)

=>(3x-1)(3x+1)<>0

=>x∉{1/3;-1/3}

2: \(A=\frac{\sqrt{9x^2-6x+1}}{9x^2-1}\)

\(=\frac{\sqrt{\left(3x-1\right)^2}}{\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)}=\frac{\left|3x-1\right|}{\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)}\)

TH1: \(x>\frac13\)

=>3x-1>0

=>\(A=\frac{3x-1}{\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)}=\frac{1}{3x+1}\)

TH2: \(x<\frac13\)

=>3x-1<0

=>|3x-1|=-(3x-1)

=>\(A=\frac{-\left(3x-1\right)}{\left(3x+1\right)\left(3x-1\right)}=\frac{-1}{3x+1}\)

3: Vì x=1>1/3 nên thay x=1 vào A, ta được:

\(A=\frac{1}{3\cdot1+1}=\frac14\)

4: \(A=\frac13\)

=>\(\left[\begin{array}{l}\frac{1}{3x+1}=\frac13\\ \frac{1}{-3x-1}=\frac13\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}3x+1=3\\ -3x-1=3\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}3x=2\\ -3x=4\end{array}\right.\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x=\frac23\left(nhận\right)\\ x=-\frac43\left(nhận\right)\end{array}\right.\)