a) \(x-2=\left(x-2\right)^2\)

\(\left(x-2\right)^2-\left(x-2\right)=0\)

\(\left(x-2\right)\left(x-2-1\right)=0\)

\(\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0\)

\(\Rightarrow x-2=0\) hoặc \(x-3=0\)

*) \(x-2=0\)

\(x=2\)

*) \(x-3=0\)

\(x=3\)

Vậy \(x=2;x=3\)

b) \(x+5=2\left(x+5\right)^2\)

\(2\left(x+5\right)^2-\left(x+5\right)=0\)

\(\left(x+5\right)\left[2\left(x+5\right)-1\right]=0\)

\(\left(x+5\right)\left(2x+10-1\right)=0\)

\(\left(x+5\right)\left(2x+9\right)=0\)

\(\Rightarrow x+5=0\) hoặc \(2x+9=0\)

*) \(x+5=0\)

\(x=-5\)

*) \(2x+9=0\)

\(2x=-9\)

\(x=-\dfrac{9}{2}\)

Vậy \(x=-5;x=-\dfrac{9}{2}\)

c) \(\left(x^2+1\right)\left(2x-1\right)+2x=1\)

\(\left(x^2+1\right)\left(2x-1\right)+2x-1=0\)

\(\left(x^2+1\right)\left(2x-1\right)+\left(2x-1\right)=0\)

\(\left(2x-1\right)\left(x^2+1+1\right)=0\)

\(\left(2x-1\right)\left(x^2+2\right)=0\)

\(\Rightarrow2x-1=0\) hoặc \(x^2+2=0\)

*) \(2x-1=0\)

\(2x=1\)

\(x=\dfrac{1}{2}\)

*) \(x^2+2=0\) 

\(x^2=-2\) (vô lí)

Vậy \(x=\dfrac{1}{2}\)

d) Sửa đề:

\(\left(x^2+3\right)\left(x+1\right)+x=-1\)

\(\left(x^2+3\right)\left(x+1\right)+\left(x+1\right)=0\)

\(\left(x+1\right)\left(x^2+3+1\right)=0\)

\(\left(x+1\right)\left(x^2+4\right)=0\)

\(\Rightarrow x+1=0\) hoặc \(x^2+4=0\)

*) \(x+1=0\)

\(x=-1\)

*) \(x^2+4=0\)

\(x^2=-4\) (vô lí)

Vậy \(x=-1\)

a: ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

Xét tứ giác AHBD có

M là trung điểm chung của AB và HD

=>AHBD là hình bình hành

Hình bình hành AHBD có \(\hat{AHB}=90^0\)

nên AHBD là hình chữ nhật

=>AD//BH và AD=BH

Xét tứ giác AHCE có

N là trung điểm chung của AC và HE

=>AHCE là hình bình hành

Hình bình hành AHCE có \(\hat{AHC}=90^0\)

nên AHCE là hình chữ nhật

=>AE//CH và AE=CH

AD//BH

=>AD//BC

AE//CH

=>AE//BC

mà AD//BC

và AD,AE có điểm chung là A

nên D,A,E thẳng hàng

Ta có: AD=BH

AE=HC

mà HB=HC

nên AD=AE
=>A là trung điểm của DE

Ta có: DE=2DA

BC=2BH

mà DA=BH

nên DE=BC

Xét tứ giác BDEC có

DE//BC

DE=BC

Do đó: BDEC là hình bình hành

Hình bình hành BDEC có \(\hat{DBC}=90^0\)

nên BDEC là hình chữ nhật

b: Gọi O là giao điểm của BE và CD

Ta có: AD=AE

BH=HC

mà AD=BH

nên AD=AE=BH=HC

BDEC là hình chữ nhật

=>BE cắt DC tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của BE và DC

Xét tứ giác ABHE có

AE//HB

AE=HB

Do đó: ABHE là hình bình hành

=>AH cắt BE tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của BE

nên O là trung điểm của AH

=>Giao điểm của BE và CD cũng chính là trung điểm của AH

c: Xét ΔHDE có

HA là đường cao

HA là đường trung tuyến

Do đó: ΔHDE cân tại H

=>HD=HE

BCED là hình chữ nhật

=>BE=CD

a: Số tam giác tạo thành là: \(C_{12}^3=\frac{12!}{\left(12-3\right)!\cdot3!}=\frac{12!}{9!\cdot3!}=\frac{10\cdot11\cdot12}{6}=10\cdot11\cdot2=20\cdot11=220\) (tam giác)

b: TH1: Lấy 2 điểm trên tia Ax(trong đó có chứa điểm A) và lấy 1 điểm trên tia Ay(khác điểm A)

Số cách lấy 2 điểm trên tia Ax và trong đó có chứa điểm A là: 6(cách)

Số cách lấy 1 điểm trên tia Ay khác điểm A là 5(cách)

Số cách tạo thành tam giác là \(6\cdot5=30\) (cách)

TH2: Lấy 2 điểm trên tia Ay(trong đó có chứa điểm A) và lấy 1 điểm trên tia Ax(khác điểm A)

Số cách lấy 2 điểm trên tia Ay mà trong đó có chứa điểm A là 5(cách)

Số cách lấy 1 điểm trên tia Ax mà khác điểm A là 6(cách)

Số cách tạo thành tam giác là \(6\cdot5=30\) (cách)

TH3: Lấy 2 điểm trên tia Ax(Khác điểm A) và lấy 1 điểm trên tia Ay

Số cách lấy 2 điểm khác điểm A trên tia Ax là \(C_6^2=\frac{6!}{\left(6-2\right)!\cdot2!}=\frac{6!}{4!\cdot2!}=\frac{6\cdot5}{2}=3\cdot5=15\) (cách)

Số cách lấy 1 điểm trên tia Ay là 6(cách)

Số cách tạo thành tam giác là 15*6=90(tam giác)

TH4: Lấy 2 điểm trên tia Ay(khác điểm A) và lấy 1 điểm trên tia Ax

Số cách lấy 2 điểm khác điểm A trên tia Ay là \(C_5^2=\frac{5!}{\left(5-2\right)!\cdot2!}=\frac{5!}{3!\cdot2!}=\frac{4\cdot5}{2}=2\cdot5=10\) (cách)

Số cách lấy 1 điểm trên tia Ax là 7(cách)

Số cách tạo thành tam giác là 10*7=70(tam giác)

Tổng số tam giác tạo thành là:

30+30+90+70=60+160=220(tam giác)

BÀi 1:

DB là phân giác của góc ADC

=>\(\hat{BDC}=\frac12\cdot\hat{ADC}\)

mà \(\hat{ADC}=\hat{BCD}\) (ABCD là hình thang cân)

nên \(\hat{BDC}=\frac12\cdot\hat{BCD}\)

ΔBCD vuông tại B

=>\(\hat{BDC}+\hat{BCD}=90^0\)

=>\(\frac12\cdot\hat{BCD}+\hat{BCD}=90^0\)

=>\(\frac32\cdot\hat{BCD}=90^0\)

=>\(\hat{BCD}=90^0:\frac32=60^0\)

=>\(\hat{BDC}=60^0\cdot\frac12=30^0\)

AB//DC

=>\(\hat{ABD}=\hat{BDC}\) (hai góc so le trong)

=>\(\hat{ABD}=30^0\)

DB là phân giác của góc ADC

=>\(\hat{ADB}=\hat{BDC}\)

=>\(\hat{ADB}=30^0\)

Xét ΔABD có \(\hat{ABD}=\hat{ADB}\left(=30^0\right)\)

nên ΔABD cân tại A

=>AB=AD

mà AD=BC(ABCD là hình thang cân)

nên AB=AD=BC=3cm

Xét ΔBCD vuông tại B có \(\sin BDC=\frac{BC}{CD}\)

=>\(\frac{3}{CD}=\sin30=\frac12\)

=>CD=6(cm)

Chu vi hình thang ABCD là:

AB+BC+CD+DA

=3+3+3+6

=9+6=15(cm)

BÀi 2:

a: Ta có: \(\hat{ABD}=\hat{DBC}=\frac12\cdot\hat{ABC}\) (BD là phân giác của góc ABC)

\(\hat{ACE}=\hat{BCE}=\frac12\cdot\hat{ACB}\) (CE là phân giác của góc ACB)

mà \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)

nên \(\hat{ABD}=\hat{DBC}=\hat{ACE}=\hat{BCE}\)

Xét ΔABD và ΔACE có

\(\hat{ABD}=\hat{ACE}\)

AB=AC

\(\hat{BAD}\) chung

Do đó: ΔABD=ΔACE

=>AD=AE và BD=CE

Xét ΔABC có \(\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}\)

nên ED//BC

Xét tứ giác BEDC có DE//BC

nên BEDC là hình thang

Hình thang BEDC có BD=EC

nên BEDC là hình thang cân

b: ΔABC cân tại A

=>\(\hat{ABC}=\hat{ACB}\)

=>\(\hat{ABC}=50^0\)

DE//BC

=>\(\hat{BED}+\hat{EBC}=180^0\) (hai góc trong cùng phía)

=>\(\hat{BED}=180^0-50^0=130^0\)

BEDC là hình thang cân

=>\(\hat{BED}=\hat{EDC}\)

=>\(\hat{EDC}=130^0\)

Bài 3:

a: Xét ΔADC và ΔBCD có

AD=BC

CD chung

AC=BD

Do đó: ΔADC=ΔBCD

=>\(\hat{ACD}=\hat{BDC}\)

=>\(\hat{OCD}=\hat{ODC}\)

=>OC=OD

Ta có: OC+OA=AC

OD+OB=BD

mà OC=OD và AC=BD

nên OA=OB

b: Xét ΔEDC có AB//DC

nên \(\frac{EA}{AD}=\frac{EB}{BC}\)

mà AD=BC

nên EA=EB

Ta có: EA=EB

=>E nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra EO là đường trung trực của AB

TA có; EA+AD=ED

EB+BC=EC

mà EA=EB và AD=BC

nên ED=EC

=>E nằm trên đường trung trực của DC(3)

Ta có: OD=OC

=>O nằm trên đường trung trực của DC(4)

Từ (3),(4) suy ra EO là đường trung trực của DC

Mình đag cần gấp. Giúp mik vs

Để xếp hạng hai người nhiều tuổi nhất ngồi cạnh nhau, ta có thể xem hai người này như một vị trí. Do đó ta có 4 đơn vị để xếp trên ghế dài.

Số cách sắp xếp 4 đơn vị trên ghế dài là 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Tuy nhiên, hai người nhiều tuổi nhất có thể ngồi bên trái hoặc bên phải của nhau, nên số cách xếp hạng 5 người trên ghế dài sao cho hai người nhiều tuổi nhất ngồi cạnh nhau là 24 x 2 = 48.

Bài 1:

Ta có: AD=BC=3cm (t/c hthang)

Vì AB//CD(gt) nên \(\widehat{ABD}=\widehat{BDC}\left(SLT\right)\)

Mà \(\widehat{ADC}=\widehat{BDC}\) (do BD là tia pgiac góc D)

=>∠ABD=∠BDC 

=>∆ABD cân tại A

=>AD=BC=3cm

Vì ∆DBC vuông tại B

nên ∠BDC+∠C=90^o

Mà ∠ADC=∠C (do ABCD là hình thang cân)

và ∠BDC=1/2 ∠ADC

=> ∠BCD=1/2∠C

Khi đó: ∠C+1/2∠C=90^o=>∠C=60^o

- Kẻ từ B 1 đường thẳng // AD cắt CD tại E

Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = DE và AD = BE

⇒ DE = 3 (cm), BE = 3 (cm)

Mà ∠BEC=∠ADC(đồng vị)

=>∠BEC=∠C

=>∆BEC cân tại B có ∠C=60^o

=>∆BEC là ∆ cả cân cả đều

=> EC=BC=3cm

Ta có: CD = CE + ED = 3 + 3 = 6(cm)

Chu vi hình thang ABCD bằng:

AB + BC + CD + DA = 3 + 3 + 6 + 3 = 15 (cm)

Bài 2:

Ta có: ∆ABC là ∆ cân tại A(gt)

=>∠ABC=∠ACB

+Ta có BD là tia pgiac của ∠ABC

=>∠B₁=∠B₂=1/2∠ABC

+Ta có CE là tia pgiac ∠ACB

=>C₁=C₂=1/2∠ACB

Xét ∆

AEC và ΔADB có:

+∠A chung

+AB=AC

+C₁=B₁

=> ΔAEC = ΔADB

=> AE = AD

=>BCDE là hình thang cân

b) Ta có ∠ACB=∠ABC=50^o(do BCDE là hình thang cân)

Ta có: ED//BC

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}=\widehat{AED}\\\widehat{ACB}=\widehat{ADE}\end{matrix}\right.=50^o}\) (SLT)

Mà ∠DEB=∠EDC

Ta có:

+∠DEB+∠AED=180^o (kề bù)

=>50^o+∠AED=180^o

=>∠AED=180^o-50^o=130^o

=>∠AED=∠ADE=130^o

Để giải phương trình, chúng ta có thể bắt đầu bằng cách rút gọn vế trái:

x(x+2018) - 2x + 4036 = 0

Khai triển số hạng thứ nhất:

x^2 + 2018x - 2x + 4036 = 0

Kết hợp các điều khoản như:

x^2 + 2016x + 4036 = 0

Bây giờ, chúng ta có thể giải phương trình bậc hai này bằng cách chia thành thừa số hoặc sử dụng công thức bậc hai. Tuy nhiên, phương trình này không dễ dàng phân tích thành nhân tử, vì vậy chúng ta sẽ sử dụng công thức bậc hai:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Trong trường hợp này, a = 1, b = 2016 và c = 4036. Thay các giá trị này vào công thức bậc hai:

x = (-2016 ± √(2016^2 - 4(1)(4036))) / (2(1))

Đơn giản hóa:

x = (-2016 ± √(4064256 - 16144))/2

x = (-2016 ± √4048112)/2

x = (-2016 ± 2011,97)/2

Bây giờ, chúng ta có thể giải tìm x bằng cách sử dụng cả căn bậc hai dương và âm:

x = (-2016 + 2011,97)/2

x = (-4,03)/2

x = -2,015

x = (-2016 - 2011,97)/2

x = (-4027,97)/2

x = -2013,985

Do đó, các nghiệm của phương trình x(x+2018) - 2x + 4036 = 0 là x = -2,015 và x = -2013,985.

Bài 3:

P = \(\dfrac{1^2}{2^2-1}\). \(\dfrac{3^2}{4^2-1}\).\(\dfrac{5^2}{6^2-1}\).....\(\dfrac{2023^2}{2024^2-1}\) 

P = \(\dfrac{1}{\left(2-1\right).\left(2+1\right)}\).\(\dfrac{3^2}{\left(4-1\right).\left(4+1\right)}\)....\(\dfrac{2023^2}{\left(2024-1\right).\left(2024+1\right)}\)

P = \(\dfrac{1}{1.3}\).\(\dfrac{3^2}{3.5}\).\(\dfrac{5^2}{5.7}\).\(\dfrac{7^2}{7.9}\)......\(\dfrac{2021^2}{2021.2023}\).\(\dfrac{2023^2}{2023.2025}\)

P = \(\dfrac{1}{2025}\)

\(...P=x^2-8x+16+x^2+2xy+y^2+2y^2-2y+2\)

\(P=\left(x-4\right)^2+\left(x+y\right)^2+2\left(y^2-y+1\right)\left(1\right)\)

Xét \(y^2-y+1=y^2-y+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+1=\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\left(\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\right)\)

\(\Rightarrow2\left(y^2-y+1\right)\ge2.\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}\)

mà \(\left(x-4\right)^2\ge0;\left(x+y\right)^2\ge0\)

\(\left(1\right)\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{2}\Rightarrow Min\left(P\right)=\dfrac{3}{2}\)

E = 16\(x^2\) + 5 + 8\(x\) - 4y + y²

E = (16\(x^2\) + 8\(x\) + 1) + (y² - 4y + 4)

E = (4\(x\) + 1)² + (y - 2)²

Vì (4\(x\) + 1)² ≥ 0

        (y - 2)² ≥ 0 

 Cộng vế với vế ta có: (4\(x\) + 1)² + (y -2)² ≥ 0

Vậy E_min = 0 ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}4x+1=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{4}\\y=2\end{matrix}\right.\)

Kết luận giá trị nhỏ nhất của E là: 0 xảy ra khi \(x\) = -\(\dfrac{1}{4}\); y =2