A C B H E F J I O

O là giao của AH và EF

\(AF\perp AB;HE\perp AB\) => AF//HE

\(AE\perp AC;HF\perp AC\) => AE//HF

=> AEHF là hình bình hành mà \(\widehat{A}=90^o\) => AEHF là HCN

\(\Rightarrow AH=EF\) (trong HCN hai đường chéo băng nhau)

\(OA=OH;OE=OF\) (trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> OE=OH => tg OEH cân tại O

Vì AEHF là HCN nên

\(\widehat{EAF}=\widehat{EHF}=90^o\) => A và H cùng nhìn EF dưới 1 góc vuông => AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O bán kính EF

Xét tg vuông BEH có

IB=IH (gt) \(\Rightarrow IE=IB=IH=\dfrac{BH}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền)

=> tg IEH cân tại I \(\Rightarrow\widehat{IEH}=\widehat{IHE}\) (1)

tg OEH cân tại O (cmt) \(\Rightarrow\widehat{OEH}=\widehat{OHE}\) (2)

Mà \(\widehat{IHE}+\widehat{OHE}=\widehat{AHB}=90^o\) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{IEH}+\widehat{OEH}=\widehat{FEI}=90^o\)

\(\Rightarrow IE\perp EF\) mà EF là đường kính (O) => IE là tiếp tuyến đường tròn (O).

C/m tương tự ta cũng có \(JF\perp EF\) => JF cũng là tiếp tuyến với (O)

=> IE//JF (cùng vuông góc với EF)

a: \(\sqrt{20}+\sqrt{80}-\sqrt{45}\)

\(=2\sqrt5+4\sqrt5-3\sqrt5\)

\(=6\sqrt5-3\sqrt5=3\sqrt5\)

b: \(4\cdot\sqrt{\frac29}+\sqrt2+\sqrt{\frac{1}{18}}\)

\(=4\cdot\frac{\sqrt2}{3}+\sqrt2+\sqrt{\frac{2}{36}}\)

\(=\frac43\sqrt2+\sqrt2+\frac16\sqrt2=\sqrt2\left(\frac43+1+\frac16\right)=\sqrt2\left(\frac86+\frac16+1\right)=\frac{15}{6}\cdot\sqrt2=\frac52\sqrt2\)

c: \(\frac{1}{\sqrt3-1}-\frac{1}{\sqrt3+1}\)

\(=\frac{\sqrt3+1-\left(\sqrt3-1\right)}{\left(\sqrt3+1\right)\left(\sqrt3-1\right)}\)

\(=\frac{\sqrt3+1-\sqrt3+1}{2}=\frac22=1\)

d: \(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}+1\)

\(=\frac{\sqrt{x}+1-\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(x-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+1-x+1}{x-1}=\frac{-x+3}{x-1}\)

e: \(\sqrt{x}-2+\frac{10-x}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)+10-x}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\frac{x-4+10-x}{x-4}=\frac{6}{x-4}\)

g: \(\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}}{4-x}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}-2-2\left(\sqrt{x}+2\right)+\sqrt{x}}{x-4}=\frac{2\sqrt{x}-2-2\sqrt{x}-4}{x-4}=\frac{-6}{x-4}\)

\(P=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}\)

\(x=36\Rightarrow P=\dfrac{\sqrt{36}+1}{\sqrt{36}-2}=\dfrac{6+1}{6-2}=\dfrac{7}{4}\)

\(x=6-2\sqrt{5}=\sqrt{5^2}-2\sqrt{5}+1=\left(\sqrt{5}-1\right)^2\)

                   \(\Rightarrow P=\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}+1}{\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}-2}=\dfrac{\left|\sqrt{5}-1\right|+1}{\left|\sqrt{5}-1\right|-2}=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-3}\)

\(x=\dfrac{2}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{4}{4+2\sqrt{3}}\) \(\Rightarrow P=\dfrac{\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}+1}{\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}-2}=\dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}+1}{\dfrac{2}{\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}-2}=\dfrac{2+\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}:\dfrac{2-2\left(\sqrt{3}+1\right)}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{2+\sqrt{3}+1}{2-2\sqrt{3}-2}\)

\(x=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}=\dfrac{4-2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}{2}+1}{\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}{2}-2}=\dfrac{\sqrt{3}-1+2}{2}:\dfrac{\sqrt{3}-1-4}{2}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-5}\)

\(x-y=2\Rightarrow y=x-2\). Thay vào pt đầu tiên, ta có:

\(\left(m-1\right)x+2\left(x-2\right)=m+1\) 

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)x=m+5\)

 Ta thấy \(m\) không thể bằng -1 được vì khi đó \(m+5=0\Leftrightarrow m=-5\), trong khi \(m\) không thể mang 2 giá trị cùng một lúc. Vì vậy, \(m\ne-1\).  \(\Rightarrow x=\dfrac{m+5}{m+1}\)

\(\Rightarrow y=x-2=\dfrac{m+5}{m+1}-2\) \(=\dfrac{3-m}{m+1}\).

Từ đó, ta có \(xy=\dfrac{\left(m+5\right)\left(3-m\right)}{\left(m+1\right)^2}\).

Rõ ràng \(\left(m+1\right)^2>0\) nên để \(xy>0\) thì \(\left(m+5\right)\left(3-m\right)>0\) \(\Leftrightarrow-5< m< 3\)

Kết luận: Để hpt đã cho có nghiệm duy nhất \(x,y\) thỏa mãn ycbt thì\(-5< m< 3\) và \(m\ne-1\)

a: Gọi M là trung điểm của BC

Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên \(AM=\frac{BC}{2}=a\)

ΔAHM vuông tại H

=>AH<=AM

=>DE<=AM

Dấu '=' xảy ra khi H trùng với M

=>H là trung điểm của BC

Vậy; \(DE_{\max}=AM=a\)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\)

=>\(AD=\frac{AH^2}{AB}\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\)

=>\(AE=\frac{AH^2}{AC}\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)

ADHE là hình chữ nhật

=>\(S_{ADHE}=AD\cdot AE=\frac{AH^2}{AB}\cdot\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^4}{AB\cdot AC}=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}=\frac{AH^3}{BC}=\frac{AH^3}{2a}\)

=>\(S_{ADHE}\) lớn nhất khi AH lớn nhất

mà AH<=a

nên \(S_{ADHE\left(max\right)}=\frac{a^3}{2a}=\frac{a^2}{2}\)

a) ĐKXĐ : \(x\sqrt{x}-1\ge0\Leftrightarrow x\ge1\)

b) \(B=\left(\dfrac{2x+1}{x\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\right).\left(\dfrac{1+x\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)\)

\(=\dfrac{2x+1-\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right).\left(x+\sqrt{x}+1\right)}.\left(x-2\sqrt{x}+1\right)\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}.\left(\sqrt{x}-1\right)^2=\sqrt{x}-1\)

c) Có : \(x=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}=\dfrac{4-2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{4}\)

Khi đó B = \(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}-1=\dfrac{\sqrt{3}-3}{2}\)

\(a,\) B có nghĩa \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne1\end{matrix}\right.\)

\(b,B=\left(\dfrac{2x+1}{x\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\right)\left(\dfrac{1+x\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)\)

\(=\dfrac{2x+1-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}.\dfrac{1+x\sqrt{x}-\sqrt{x}\left(1+\sqrt{x}\right)}{1+\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{2x+1-x+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}.\dfrac{1+x\sqrt{x}-\sqrt{x}-x}{1+\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}.\dfrac{\sqrt{x}\left(x-1\right)-\left(x-1\right)}{1+\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\sqrt{x}-1\)

\(c,x=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}\Rightarrow B=\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}}-1\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}.\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2}.\sqrt{2}}-\sqrt{2}\) (Nhân \(\sqrt{2}\) để khử căn dưới mẫu)

\(=\dfrac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}-2\sqrt{2}}{2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}-2\sqrt{2}}{2}\)

\(=\dfrac{\left|\sqrt{3}-1\right|-2\sqrt{2}}{2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{3}-1-2\sqrt{2}}{2}\)