a: Xét (O) có

ΔMAN nội tiếp

MN là đường kính

Do đó: ΔMAN vuông tại A

Xét tứ giác IANH có \(\hat{IAN}+\hat{IHN}=90^0+90^0=180^0\)

nên IANH là tứ giác nội tiếp

b: ΔOCD cân tại O

mà OH là đường cao

nên OH là phân giác của góc COD

Xét (O) có

\(\hat{COM}\) là góc ở tâm chắn cung CM

\(\hat{DOM}\) là góc ở tâm chắn cung DM

mà \(\hat{COM}=\hat{DOM}\)

nên sđ cung CM=sđ cung DM

Xét (O) có

\(\hat{MCD}\) là góc nội tiếp chắn cung MD

\(\hat{MAC}\) là góc nội tiếp chắn cung MC

sđ cung MD=sđ cung MC

Do đó: \(\hat{MCD}=\hat{MAC}\)

c: Xét (O) có

ΔMCN nội tiếp

MN là đường kính

Do đó: ΔMCN vuông tại C

Xét ΔCMN vuông tại C có CH là đường cao

nên \(MH\cdot MN=MC^2\) (1)

Xét ΔMHI vuông tại H và ΔMAN vuông tại A có

\(\hat{HMI}\) chung

Do đó: ΔMHI~ΔMAN

=>\(\frac{MH}{MA}=\frac{MI}{MN}\)

=>\(MH\cdot MN=MI\cdot AM\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(MI\cdot MA=MC^2\)

a) x² + 2x + m - 1 = 0 (1)

Với m = 2 ta có (1) trở thành

x² + 2x + 1 = 0

Có \(\Delta=2^2-4.1.1=0\) nên phương trình nghiệm kép 

\(x_1=x_2=-1\)

b) (1) 2 nghiệm phân biệt khi \(\Delta=2^2-4.\left(m-1\right)=8-4m>0\Leftrightarrow m< 2\)

Áp dụng hệ thức Viete cho (1) ta có 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

Khi đó \(x_1^3+x_2^3-6x_1x_2=4.\left(m-m^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2.\left(x_1+x_2\right)-6x_1x_2=4\left(m-m^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(-2\right)^3-3.\left(-2\right).\left(m-1\right)-6.\left(m-1\right)=4.\left(m-m^2\right)\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4m-8=0\Leftrightarrow\left(m-2\right).\left(4m+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\left(\text{loại}\right)\\m=-1\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy m = -1 thì thỏa mãn ycbt

Giải toán bằng cách lập phương trình:

Gọi vận tốc ca nô khi nước lặng là: \(x\)  km/h  ( \(x\) > 0)

Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là: \(x\) + 5    ( km/h)

Thời gian ca nô xuôi dòng là: \(\dfrac{60}{x+5}\)      (giờ)

Vận tốc ca nô khi ngược dòng là: \(x\) -5  ( km/h)

Thời gian ca nô ngược dòng là: \(\dfrac{60}{x-5}\) ( giờ)

Theo bài ra ta có phương trình:

\(\dfrac{60}{x+5}+\dfrac{60}{x-5}\) =  5 = \(\dfrac{60}{12}\)

⇒ \(\dfrac{1}{x+5}\) + \(\dfrac{1}{x-5}\) = \(\dfrac{1}{12}\)

⇒ 12 \(\times\) ( \(x+5+x-5\)) = (\(x\) + 5)(\(x-5\))

⇒ 12 \(\times\) 2\(x\) = \(x^2\) - 25

\(x^2\) - 25 - 24\(x\) = 0 ⇒ \(x^2\) - 24\(x\) - 25 = 0

ta có a - b + c =  1 - ( -24) - 25 = 0 ⇒ \(x\) = -1 ( loại); \(x\)= 25 ( thỏa mãn)

Vậy vận tốc ca nô khi nước lặng là 25 km/h 

UỦueirhdiwjdueh Bdjdidheithd hêubdiegdieuwi hêuueiwhrueh ẻuoebeuwowyueheuwiue

a: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}+\hat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH

b: Gọi G là trung điểm của AH

=>G là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF

Xét (G) có

\(\hat{IAE};\hat{IFE}\) là các góc nội tiếp chắn cung IE

=>\(\hat{IFE}=\hat{IAE}=\hat{IAC}\)

Xét (O) có

\(\hat{IAC};\hat{IBC}\) là các góc nội tiếp chắn cung IC

=>\(\hat{IAC}=\hat{IBC}\)

=>\(\hat{IFE}=\hat{IBC}\)

Ta có; \(\hat{IEF}+\hat{IAF}=180^0\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung IF nhỏ và IF lớn trong đường tròn tâm G)

\(\hat{IAF}+\hat{ICB}=180^0\) (AICB là tứ giác nội tiếp)

DO đó: \(\hat{IEF}=\hat{ICB}\)

Xét ΔIEF và ΔICB có

\(\hat{IEF}=\hat{ICB}\)

\(\hat{IFE}=\hat{IBC}\)

Do đó: ΔIEF~ΔICB

a) Với m = 0 phương trình (1) trở thành :

x² + 2x - 3 = 0

Dễ thấy phương trình có dạng a + b + c = 0

nên (1) có 2 nghiệm \(x_1=1;x_2=-3\)

b) Phương trình (1) có nghiệm khi : 

\(\Delta'=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-m^2+3=-2m+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\le2\)

c) Áp dụng hệ thức Viete cho (1) ta có : 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\\x_1x_2=m^2-3\end{matrix}\right.\)

Khi đó \(F=x_1^2+x_2^2+x_1+x_2=\left(x_1+x_2\right)^2+x_1+x_2-2x_1x_2\)

\(=\left(2m-2\right)^2+2m-2-2.\left(m^2-3\right)\)

\(=2m^2-6m+8=\dfrac{4m^2-12m+16}{2}=\dfrac{\left(2m-3\right)^2+7}{2}\ge\dfrac{7}{2}\)

=> \(F_{min}=\dfrac{7}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> 2m - 3 = 0 

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}\)(tm)

Gọi thời gian  tổ A,B hoàn thành công việc một mình là x,y 

ĐK : x > 8 ; y > 8

1 giờ tổ A làm \(\dfrac{1}{x}\) (việc)

1 giờ tổ B làm \(\dfrac{1}{y}\) (việc) 

1 giờ cả hai tổ làm được \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{8}\) (việc) (1) 

Khi làm riêng , tổ A xong trước tổ B 12 giờ 

=> 1 giờ tổ A làm nhiều hơn tổ B 

\(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\) (việc) (2)

Từ (1) ; (2) ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{8}\\\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{x}=\dfrac{5}{24}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{8}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=9,6\\y=48\end{matrix}\right.\)

Vậy thời gian tổ A,B lần lượt xong việc là 9,6 giờ ; 48 giờ