a: Xét tứ giác OMAN có \(\hat{OMA}+\hat{ONA}+\hat{MON}+\hat{MAN}=360^0\)

=>\(\hat{MON}=360^0-90^0-90^0-60^0=120^0\)

b: Vì \(\hat{MON}=120^0\)

nên sđ cung nhỏ MN là 120 độ

Số đo cung lớn MN là \(360^0-120^0=240^0\)

A = 1² - 2² + 3² - 4² + 5² - 6² + 7² - .......- 58² + 59²

A =  1² + ( 3² - 2²) + ( 5² - 4²) + (7² - 6²) +....+ ( 59² - 58²)

A  =  1 +   ( 3-2)(2+3) + (5-4)(4+5) + (7-6)(6+7)+....+(59-58)(58+59)

A  =  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ....+ 58 + 59

A = ( 59 + 1).{ (59 - 1): 1 + 1 } : 2 

A = 1770

B =  \(\dfrac{2^{2016}-2^{2015}+2^{2014}-2^{2013}+2^{2012}-2^{2011}+2^{2010}-2^{2009}}{2^{2008}}\)

Đặt tử số là A 

ta có

  A =           2²⁰¹⁶ - 2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴ -  2²⁰¹³ + 2²⁰¹² - 2²⁰¹¹ + 2²⁰¹⁰- 2²⁰⁰⁹

2 A= 2²⁰¹⁷- 2²⁰¹⁶ + 2²⁰¹⁵- 2²⁰¹⁴ +2²⁰¹³-2²⁰¹² + 2²⁰¹¹ - 2²⁰¹⁰ 

2A + A = 2²⁰¹⁷ - 2²⁰⁰⁹

       3A = 2²⁰¹⁷ - 2²⁰⁰⁹

         A = (2²⁰¹⁷ - 2²⁰⁰⁹):3

B = A : 8 = (2²⁰¹⁷- 2²⁰⁰⁹) : 3 : 8

B = (2²⁰¹⁷ - 2²⁰⁰⁹) : 24

a: Xét (O) có

MA,MC là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MC

=>M nằm trên đường trung trực của AC(1)

Ta có: OA=OC

=>O nằm trên đường trung trực của AC(2)

Từ (1),(2) suy ra OM là đường trung trực của AC
=>OM⊥AC tại I và I là trung điểm của AC

Xét (O) có

ΔAQB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAQB vuông tại Q

=>AQ⊥MB tại Q

Xét tứ giác AIQM có \(\hat{AIM}=\hat{AQM}=90^0\)

nên AIQM là tứ giác nội tiếp

b: Ta có: AIQM là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{MIQ}=\hat{MAQ}\)

mà \(\hat{MAQ}=\hat{MBA}\left(=90^0-\hat{QAB}\right)\)

nên \(\hat{MIQ}=\hat{MBA}\)

A C H P I B M K O (hình minh họa)

Xét tứ giác AIHK:

\(\widehat{AIH}+\widehat{AKH}=90^o+90^o=180^o\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác AIHK nội tiếp

Xét \(\Delta MIB\) và \(\Delta MCK\):

\(\widehat{IMC}\) chung

\(\widehat{MBI}=\widehat{MKC}\)

\(\Rightarrow\Delta MIB~\Delta MCK\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{MI}{MB}=\dfrac{MC}{MK}\)

\(\Leftrightarrow MI.MK=MC.MB\)

\(\widehat{IMP}=\dfrac{1}{2}\widehat{IMB}\)

\(\widehat{IAP}=\dfrac{1}{2}\widehat{IAK}\)

\(\Rightarrow\widehat{APM}=180^o-\dfrac{1}{2}\left(\widehat{IMB}+\widehat{IAK}\right)=180^o-\dfrac{1}{2}.180^o=90^o\)

\(\Rightarrow AP\perp MP\).

Gọi thời gian người thứ nhất và người thứ hai hoàn thành công việc khi làm một mình lần lượt là a(giờ) và b(giờ)

(Điều kiện: a<b; a>0; b>0)

Vì nếu làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành nhanh hơn người thứ hai là 15 giờ nên b-a=15

=>b=a+15(1)

Trong 1 ngày, người thứ nhất làm được: \(\frac{1}{a}\) (công việc)

Trong 1 ngày, người thứ hai làm được: \(\frac{1}{b}\) (công việc)

Trong 1 ngày, hai người làm được: \(\frac{1}{10}\) (công việc)

Do đó, ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{10}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}b=a+15\\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{10}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b=a+15\\ \frac{1}{a}+\frac{1}{a+15}=\frac{1}{10}\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}b=a+15\\ \frac{a+15+a}{a\left(a+15\right)}=\frac{1}{10}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b=a+15\\ \frac{2a+15}{a\left(a+15\right)}=\frac{1}{10}\end{cases}\)

=>a(a+15)=10(2a+15) và b=a+15

=>\(a^2+15a-20a-150=0\) và b=a+15

=>\(a^2-5a-150=0\) và b=a+15

=>(a-15)(a+10)=0 và b=a+15

=>\(\left[\begin{array}{l}a=15\left(nhận\right)\\ a=-10\left(lọai\right)\end{array}\right.\) và b=a+15

=>a=15 và b=15+15=30(nhận)

Vậy: thời gian người thứ nhất và người thứ hai hoàn thành công việc khi làm một mình lần lượt là 15(giờ) và 30(giờ)

a) Dễ thấy \(\widehat{ADC}=\widehat{AFC}=90^o\) \(\Rightarrow\) Tứ giác ACDF nội tiếp đường tròn nhận AC làm đường kính \(\Rightarrow\) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACDF chính là trung điểm của đoạn AC.

b) Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác HBC với cát tuyến DFK, ta có \(\dfrac{KH}{KB}.\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{FC}{FH}=1\) \(\Rightarrow\dfrac{KH}{KB}=\dfrac{DC}{DB}.\dfrac{FH}{FC}\) (1)

Áp dụng định lý Ceva cho tam giác HBC với các đường đồng quy CE, DH, BF và \(D\in BC,E\in HB,F\in HC\), ta có \(\dfrac{DC}{DB}.\dfrac{EB}{EH}.\dfrac{FH}{FC}=1\) \(\Rightarrow\dfrac{EH}{EB}=\dfrac{DC}{DB}.\dfrac{FH}{FC}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{KH}{KB}=\dfrac{EH}{EB}\) \(\Rightarrow\) đpcm

 Nếu bạn chưa thấy câu trả lời thì vào trang cá nhân của mình xem nhé.

a: Xét ΔABC có \(\hat{ABC}+\hat{ACB}+\hat{BAC}=180^0\)

=>\(\hat{BAC}=180^0-46^0-72^0=134^0-72^0=62^0\)

b: Ta có: AM là phân giác của góc BAC

=>\(\hat{BAM}=\hat{CAM}=\frac12\cdot\hat{BAC}=\frac12\cdot62^0=31^0\)

BN là phân giác của góc ABC

=>\(\hat{ABN}=\hat{CBN}=\frac12\cdot\hat{ABC}=\frac12\cdot46^0=23^0\)

Xét (O) có \(\hat{BAN}\) là góc nội tiếp chắn cung AN

\(\hat{CBN}\) là góc nội tiếp chắn cung CN

\(\hat{BAN}=\hat{CBN}=23^0\)

Do đó: sđ cung AN=sđ cung CN\(=2\cdot23^0=46^0\)

Xét (O) có

\(\hat{BAM};\hat{CAM}\) lần lượt là các góc nội tiếp chắn hai cung BM và CM

\(\hat{BAM}=\hat{CAM}=31^0\)

Do đó: sđ cung BM=sđ cung CM=62 độ

=>BM=CM

Xét (O) có

\(\hat{NAC};\hat{NBC}\) là các góc nội tiếp chắn cung NC

=>\(\hat{NAC}=\hat{NBC}=23^0\)

\(\hat{NAM}=\hat{NAC}+\hat{MAC}=23^0+31^0=54^0\)

Xét (O) có

\(\hat{NBM};\hat{NAM}\) là các góc nội tiếp chắn cung NM

=>\(\hat{NBM}=\hat{NAM}\)

=>\(\hat{IBM}=54^0\)

Xét (O) có \(\hat{BIM}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung BM,AN

=>\(\hat{BIM}\) =1/2(sđ cung BM+sđ cung AN)

=\(\frac12\left(62^0+46^0\right)=\frac12\cdot108^0=54^0\)

c: Xét ΔMIB có \(\hat{MBI}=\hat{MIB}\)

nên ΔMBI cân tại M

=>MB=MI

mà MB=MC

nên MB=MI=MC

Gọi chiều rộng ban đầu là x(m)

(Điều kiện: x>0)

Chiều dài ban đầu là x+10(m)

Chiều dài sau khi tăng thêm 3m là x+13(m)

Diện tích tăng thêm \(60m^2\) nên ta có:

x(x+13)-x(x+10)=60

=>x(x+13-x-10)=60

=>3x=60

=>x=20(nhận)

Vậy: Chiều rộng ban đầu là 20m

Chiều dài ban đầu là 20+10=30m