a: Xét tứ giác BHCK có

M là trung điểm chung của BC và HK

=>BHCK là hình bình hành

b: ΔAFH vuông tại F

mà FI là đường trung tuyến

nên \(FI=\frac{AH}{2}\left(1\right)\)

ΔAHE vuông tại E

mà EI là đường trung tuyến

nên \(EI=\frac{AH}{2}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra FI=EI

=>I nằm trên đường trung trực của EF(3)

Ta có; ΔBFC vuông tại F

mà FM là đường trung tuyến

nên \(FM=\frac{BC}{2}\) (4)

ΔBEC vuông tại E

mà EM là đường trung tuyến

nên \(EM=\frac{BC}{2}\) (5)

Từ (4),(5) suy ra MF=ME

=>M nằm trên đường trung trực của EF(6)

Từ (3),(6) suy ra IM là đường trung trực của EF

=>IM⊥EF

Xét ΔHAK có

I,M lần lượt là trung điểm của HA,HK

=>IM là đường trung bình của ΔHAK

=>IM//AK

mà IM⊥EF

nên AK⊥EF

\(\left(x-2y\right)^2-16\left(x-y\right)^2\\ =x^2-4xy+4y^2-16\left(x^2-2xy+y^2\right)\\ =x^2-4xy+4y^2-16x^2+32xy-16y^2\\ =x^2-16x^2-4xy+32xy+4y^2-16y^2\\ =-15x^2+28xy-12y^2\)

\(\dfrac{x-55}{45}+\dfrac{x-30}{35}+\dfrac{x-25}{25}+\dfrac{x-40}{15}=10\)

\(< =>\dfrac{x-55}{45}+\dfrac{x-30}{35}+\dfrac{x-25}{25}+\dfrac{x-40}{15}-10=0\)

\(< =>\dfrac{x-55}{45}-1+\dfrac{x-30}{35}-2+\dfrac{x-25}{25}-3+\dfrac{x-40}{15}-4=0\)

\(< =>\dfrac{x-100}{45}+\dfrac{x-100}{35}+\dfrac{x-100}{25}+\dfrac{x-100}{15}=0\)

\(< =>\left(x-100\right)\left(\dfrac{1}{45}+\dfrac{1}{35}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{15}\right)=0\)

\(< =>x-100=0\left(\dfrac{1}{45}+\dfrac{1}{35}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{15}\ne0\right)\)

\(< =>x=100\)