a; Xét (O) có

ΔANE nội tiếp

AE là đường kính

Do đó: ΔANE vuông tại N

=>AN⊥NE

mà AN⊥BC

nên NE//BC

=>BCEN là hình thang

=>\(\hat{NBC}+\hat{BNE}=180^0\) (1)

B,C,E,N cùng thuộc (O)

=>BCEN là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{BNE}+\hat{BCE}=180^0\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{NBC}=\hat{ECB}\)

Hình thang BCEN có \(\hat{NBC}=\hat{ECB}\)

nên BCEN là hình thang cân

b:

Xét tứ giác ABDM có \(\hat{AMB}=\hat{ADB}=90^0\)

nên ABDM là tứ giác nội tiếp

Xét (O) có

\(\hat{BCN};\hat{BAN}\) là các góc nội tiếp chắn cung BN

=>\(\hat{BCN}=\hat{BAN}\)

mà \(\hat{BAN}=\hat{BMD}\) (ABDM là tứ giác nội tiếp)

nên \(\hat{BCN}=\hat{BMD}\)

c: Xét (O) có

\(\hat{BNA};\hat{BCA}\) là các góc nội tiếp chắn cung BA

=>\(\hat{BNA}=\hat{BCA}\)

mà \(\hat{BHD}=\hat{BCA}\left(=90^0-\hat{MBC}\right)\)

nên \(\hat{BHN}=\hat{BNH}\)

=>ΔBHN cân tại B

mà BC là đường cao

nên BC là đường trung trực của HN

=>H đối xứng N qua BC

- Gọi \(x_1,x_3,x_5...,x_{999}\) lần lượt là các giá trị được gắn với mỗi điểm màu xanh.

\(x_2,x_4,x_6,...x_{1000}\) lần lượt là các giá trị được gắn với mỗi điểm màu đỏ.

Giả sử điểm được gắn giá trị \(x_1\)(tạm gọi là \(đ_1\)) xen kẽ với \(đ_{1000},đ_2\) ; \(đ_2\) xen kẽ với \(đ_1,đ_3\) ; ... ; \(đ_{1000}\) xen kẽ với \(đ_{999}\) và \(đ_1\).

Ta có: \(x_3=x_2+x_4\).Mà \(x_2=x_1x_3;x_4=x_3x_5\)

\(\Rightarrow x_3=x_1x_3+x_3x_5\Rightarrow x_1+x_5=1\) (vì \(x_3\ne0\)).

Tương tự \(x_3+x_7=x_5+x_9=...=x_{997}+x_1=x_{999}+x_3=1\)

\(\Rightarrow\left(x_1+x_5\right)+\left(x_3+x_7\right)+...+\left(x_{997}+x_1\right)+\left(x_{999}+x_3\right)=999\)

\(\Rightarrow2\left(x_1+x_3+...+x_{999}\right)=999\Rightarrow x_1+x_3+...+x_{999}=\dfrac{999}{2}\)

Mặt khác: \(x_1=x_{1000}+x_2;x_3=x_2+x_4;...;x_{999}=x_{998}+x_{1000}\)

\(\Rightarrow\left(x_{1000}+x_2\right)+\left(x_2+x_4\right)+...+\left(x_{998}+x_{1000}\right)=x_1+x_3+...+x_{999}\)

\(\Rightarrow2\left(x_2+x_4+...+x_{1000}\right)=\dfrac{999}{2}\)

\(\Rightarrow x_2+x_4+...+x_{1000}=\dfrac{999}{4}\)

Vậy tổng giá trị 1000 điểm trên là \(\dfrac{999}{2}+\dfrac{999}{4}=\dfrac{2997}{4}\)

Bằng 375 nha tại vì từ 1,3,5,...,999 có 500 số hạng nên tổng 2 lần các số trên là 500

Gọi vận tốc của xe thứ nhất là x(km/h), vận tốc của xe thứ hai là y(km/h)

(Điều kiện: x>0; y>0)

Sau 2 giờ, xe thứ nhất đi được: 2x(km)

Sau 3 giờ, xe thứ hai là 3y(km)

Độ dài quãng đường AB là 240km nên 2x+3y=240(1)

Xe 1 khởi hành trước xe 2 là 1,5 giờ nên khi xe 2 đi được 1,5 giờ thì xe 1 đã đi được:

1,5+1,5=3(giờ)

Sau 3 giờ, xe 1 đi được: 3x(km)

Sau 1,5 giờ, xe 2 đi được: 1,5y(km)

Độ dài quãng đường AB là 240km nên 3x+1,5y=240(2)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}2x+3y=240\\ 3x+1,5y=240\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x+3y=240\\ 6x+3y=480\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}6x+3y-2x-3y=480-240\\ 3x+1,5y=240\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}4x=240\\ 2x+y=160\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=60\\ y=40\end{cases}\) (nhận)

Vậy: vận tốc của xe thứ nhất là 60(km/h), vận tốc của xe thứ hai là 40(km/h)

`(x-6)^4 +(x-8)^4 =16`

`<=> (x-6)^4 +(x-8)^4 =2^4`

`<=> x-6 +x-8 =2`

`<=> 2x - 14=2`

`<=>2x= 16`

`<=>x=8`

Đặt : \(x-7\text{=}y\)

\(\Rightarrow pt\) chỉ còn : 

\(\left(y+1\right)^4+\left(y-1\right)^4\text{=}16\)

\(\Leftrightarrow y^4+4y^3+6y^2+4y+1+y^4-4y^3+6y^2-4y+1\text{=}16\)

\(\Leftrightarrow2y^4+12y^2+2\text{=}16\)

\(\Leftrightarrow y^4+6y^2+1\text{=}8\)

\(\Leftrightarrow y^4+6y^2-7\text{=}0\)

Đặt : \(y^2\text{=}z\ge0\)

\(\Rightarrow z^2+6z-7\text{=}0\)

\(\Leftrightarrow\left(z-1\right)\left(z-7\right)\text{=}0\)

\(\Leftrightarrow z\text{=}\left\{{}\begin{matrix}-7\\1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow z\text{=}-7\left(loai\right)\)

\(\Leftrightarrow z\text{=}1\Rightarrow y\text{=}\pm1\)

\(\Leftrightarrow x\text{=}\left\{{}\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right.\)

Ta có : \(P\text{=}\dfrac{5x-9}{x-3}\text{=}\dfrac{5x-15+6}{x-3}\)

\(\Rightarrow P\text{=}\dfrac{5x-15}{x-3}+\dfrac{6}{x-3}\)

\(\Rightarrow P\text{=}\dfrac{5\left(x-3\right)}{x-3}+\dfrac{6}{x-3}\text{=}\dfrac{6}{x-3}+5\)

\(\Rightarrow P_{max}\Leftrightarrow x-3\text{=}1\Leftrightarrow x\text{=}4\)

\(\Rightarrow P_{max}\text{=}9\Leftrightarrow x\text{=}4\)

\(\Rightarrow P_{min}\Leftrightarrow x-3\text{=}-1\Leftrightarrow x\text{=}2\)

\(\Rightarrow P_{min}\text{=}-1\Leftrightarrow x\text{=}2\)

Theo đề ra, ta có:

Bán kính hình tròn B gấp 3 lần bán kính hình tròn A

Mà ta có công thức tính chu vi hình tròn là: Bán kính \(\times2\times3,14\)

\(\Rightarrow\) Chu vi của hình tròn B cũng gấp 3 lần chu vi hình tròn A

Mà mỗi khi lăn được một vòng, hình tròn A lại đi được một quãng đường bằng đúng chu vi của nó

\(\Rightarrow\) Để lăn xung quanh hình tròn B, hình tròn A phải thực hiện 3 vòng quay để quay lại điểm xuất phát.

ĐKXĐ : \(x\inℝ\)

Ta có : \(\dfrac{x^2+4x+5}{x^2-x+5}-\dfrac{3x}{x^2-3x+5}=1\)

\(\Leftrightarrow1+\dfrac{5x}{x^2-x+5}-\dfrac{3x}{x^2-3x+5}=1\)

\(\Leftrightarrow x.\left(\dfrac{5}{x^2-x+5}-\dfrac{3}{x^2-3x+5}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\\dfrac{5}{x^2-x+5}=\dfrac{3}{x^2-3x+5}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình (1) <=> 5(x² - 3x + 5) = 3(x² - x + 5)

<=> 2x² - 12x + 10 = 0

<=> x² - 6x + 5 = 0

<=> (x - 1)(x - 5) = 0

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=5\end{matrix}\right.\)

Tập nghiệm \(S=\left\{0;1;5\right\}\)