.....................

6: \(\sin3x=\frac12\)

=>\(\left[\begin{array}{l}3x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ 3x=\pi-\frac{\pi}{6}+k2\pi=\frac56\pi+k2\pi\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{18}+\frac{k2\pi}{3}\\ x=\frac{5}{18}\pi+\frac{k2\pi}{3}\end{array}\right.\)

TH1: \(x=\frac{\pi}{18}+\frac{k2\pi}{3}\)

\(x\in\left\lbrack0;\pi\right\rbrack\)

=>\(\frac{\pi}{18}+\frac{k2\pi}{3}\in\left\lbrack0;\pi\right\rbrack\)

=>\(\frac{2k}{3}+\frac{1}{18}\in\left\lbrack0;1\right\rbrack\)

=>\(\frac{12k+1}{18}\in\left\lbrack0;1\right\rbrack\)

=>12k+1∈[0;18]

=>12k∈[-1;17]

mà k là số nguyên

nên k∈{0;1}

Khi k=0 thì \(x=\frac{\pi}{18}+\frac{k2\pi}{3}=\frac{\pi}{18}+0=\frac{\pi}{18}\)

Khi k=1 thì \(x=\frac{\pi}{18}+\frac{k2\pi}{3}=\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi}{3}=\frac{13}{18}\pi\)

TH2: \(x=\frac{5}{18}\pi+\frac{k2\pi}{3}\)

\(x\in\left\lbrack0;\pi\right\rbrack\)

=>\(\frac{5}{18}\pi+\frac{k2\pi}{3}\in\left\lbrack0;\pi\right\rbrack\)

=>\(\frac{2k}{3}+\frac{5}{18}\in\left\lbrack0;1\right\rbrack\)

=>\(\frac{12k+5}{18}\in\left\lbrack0;1\right\rbrack\)

=>\(12k+5\in\left\lbrack0;18\right\rbrack\)

=>12k∈[-5;13]

=>k∈\(\left\lbrack-\frac{5}{12};\frac{13}{12}\right\rbrack\)

mà k là số nguyên

nên k∈{0;1}

Khi k=0 thì \(x=\frac{5}{18}\pi+\frac{k2\pi}{3}=\frac{5}{18}\pi\)

Khi k=1 thì \(x=\frac{5}{18}\pi+\frac{2\pi}{3}=\frac{5}{18}\pi+\frac{12\pi}{18}=\frac{17\pi}{18}\)

=>Chọn B

5: ĐKXĐ: 1-cosx<>0

=>cosx<>1

=>\(x<>k2\pi\)

=>Chọn D

4: \(2\cdot\sin^2x+cosx+1=0\)

=>\(2\left(1-cos^2x\right)+cosx+1=0\)

=>\(2-2\cdot cos^2x+cosx+1=0\)

=>\(-2\cdot cos^2x+cosx+3=0\)

=>\(2\cdot cos^2x-cosx-3=0\)

=>\(2\cdot cos^2x-3\cdot cosx+2\cdot cosx-3=0\)

=>\(\left(2cosx-3\right)\left(cosx+1\right)=0\)

=>cosx+1=0

=>cosx=-1

=>\(x=\pi+k2\pi\)

=>Chọn B

Câu 1:

1: \(cos2x=\frac{\sqrt2}{2}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}2x=\frac{\pi}{4}+k2\pi\\ 2x=-\frac{\pi}{4}+k2\pi\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{8}+k\pi\\ x=-\frac{\pi}{8}+k\pi\end{array}\right.\)

2: \(\sqrt3\cdot cos3x-\sin3x=-1\)

=>\(\frac{\sqrt3}{2}\cdot cos3x-\frac12\cdot\sin3x=-\frac12\)

=>\(\sin\left(\frac{\pi}{3}-3x\right)=-\frac12\)

=>\(\sin\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\)

=>\(\left[\begin{array}{l}3x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ 3x-\frac{\pi}{3}=\frac56\pi+k2\pi\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}3x=\frac12\pi+k2\pi\\ 3x=\frac76\pi+k2\pi\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac16\pi+\frac{k2\pi}{3}\\ x=\frac{7}{18}\pi+\frac{k2\pi}{3}\end{array}\right.\)

Ta có:

\(kC_n^k=k.\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!}=\dfrac{n\left(n-1\right)!}{\left(k-1\right)!\left[n-1-\left(k-1\right)\right]!}=nC_{n-1}^{k-1}\). 

Áp dụng ta được: 

\(C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+...+nC_n^n\)

\(=n\left(C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+...+C_{n-1}^{n-1}\right)\)

Mà ta lại có:

 \(2^{n-1}=\left(1+1\right)^{n-1}=C_{n-1}^0.1^0.1^{n-1-0}+C_{n-1}^1.1^1.1^{n-1-1}+...+C_{n-1}^{n-1}.1^{n-1}.1^0\)

\(=C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+...+C_{n-1}^{n-1}\)

Do đó ta có đpcm. 

🤨🤨🤨

Em đưa vào cả câu văn/đoạn văn (ngữ cảnh) chứa từ này để cô giải đáp cho chuẩn xác nhé!

Để xét dãy tăng, dãy giảm, bạn tính \(u_{n+1}-u_n\).

- Nếu \(u_{n+1}-u_n>0\) với \(n\) là số tự nhiên thì dãy là dãy tăng.

- Nếu \(u_{n+1}-u_n< 0\) với \(n\) là số tự nhiên thì dãy là dãy giảm. 

Áp dụng: 

A: \(u_{n+1}=\dfrac{\left(n+1\right)}{\left(n+1\right)+1}=\dfrac{n+1}{n+2}\)

\(n_{n+1}-u_n=\dfrac{n+1}{n+2}-\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{\left(n+1\right)^2-n\left(n+2\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}=\dfrac{1}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}>0\)

với \(n\) là số tự nhiên.

Do đó \(u_n\) là dãy tăng. 

Bạn làm tương tự với các dãy còn lại. 

B: Dãy giảm. 

C: Dãy không tăng không giảm. 

D: Dãy tăng. 

Điều kiện xác định: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2\ge0\\8+5x-y\ge0\\2-x+2y\ge0\\3y+5\ge0\end{matrix}\right.\)

Phương trình (1) tương đương với: 

\(x+2+y+2+2\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}=8+5x-y\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}=2x-y+2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy+2x+2y+4=\left(2x-y+2\right)^2\\2x-y+2\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow4x^2+y^2-5xy+6x-6y=0\) (với \(2x-y+2\ge0\))

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(4x-y+6\right)=0\) (với \(2x-y+2\ge0\))

\(\Leftrightarrow x=y\) (vì \(4x-y+6=2x-y+2+2\left(x+2\right)\ge0\), dấu "\(=\)" xảy ra khi \(x=y=-2\) khi đó \(3y+5=-1< 0\) không thỏa mãn điều kiện xác định).

Với \(x=y\) thế vào phương trình (2) ta được: 

\(x^2+3x+4=\sqrt{10+5x}+\sqrt{3x+5}\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-1+\left(x+3-\sqrt{5x+10}\right)+\left(x+2-\sqrt{3x+5}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-1+\dfrac{\left(x+3\right)^2-\left(5x+10\right)}{x+3+\sqrt{5x+10}}+\dfrac{\left(x+2\right)^2-\left(3x+5\right)}{x+2+\sqrt{3x+5}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x-1\right)\left(1+\dfrac{1}{x+3+\sqrt{5x+10}}+\dfrac{1}{x+2+\sqrt{3x+5}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-1=0\) (vì theo điều kiện thì ...\(>0\))

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow y=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\\x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow y=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\).

Thử lại ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm \(\left(x;y\right)\) là \(\left(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2};\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\right),\left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2};\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\).