Ta có \(\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CM}^2\) \(\Leftrightarrow\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CM}^2=0\)  \(\Leftrightarrow\overrightarrow{CM}\left(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CM}\right)=0\) \(\Leftrightarrow\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\) \(\Leftrightarrow\) \(\overrightarrow{CM}\perp\overrightarrow{MB}\)

Như vậy những điểm M thỏa mãn \(\widehat{CMB}=90^o\) chính là những điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Nói cách khác, tập hợp điểm M thỏa mãn đề bài là đường tròn đường kính BC.

vật $M$ đứng yên $\iff \overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0}$

Hay $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow 2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$\iff \overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MI}\Rightarrow MC=2M$

1+2+3+(4)+5+7+8

Ta có : \(S=\dfrac{abc}{4R}=\dfrac{abc}{4\cdot8}=\dfrac{abc}{32}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot sinB=\dfrac{abc}{32}\)

\(\Rightarrow\dfrac{ac}{2}\cdot sin50^0=\dfrac{abc}{32}\)

\(\Rightarrow sin50^0=\dfrac{abc}{32}:\dfrac{ac}{2}\)

\(\Rightarrow sin50^0=\dfrac{abc}{32}\cdot\dfrac{2}{ac}=\dfrac{b}{16}\)

Từ đó , ta được : \(b=16\cdot sin50^0\approx12,257\left(cm\right)\)

Vậy độ dài cạnh AC là xấp xỉ \(12,257cm\).

Vẽ đường kính AD của đường tròn (O). Ta thấy ngay \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{DO}\), do đó \(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\) \(=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\) \(=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{OC}\)

Mặt khác, \(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CH}\) nên \(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CH}\), từ đó suy ra tứ giác BDCH là hình bình hành \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}DB//CH\\DC//BH\end{matrix}\right.\). (*)

Trong đường tròn (O), có đường kính AD nên \(\widehat{ABD}=\widehat{ACD}=90^o\) hay \(\left\{{}\begin{matrix}DB\perp AB\\DC\perp AC\end{matrix}\right.\) (**)

Từ (*) và (**), suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}CH\perp AB\\BH\perp AC\end{matrix}\right.\). Điều này đồng nghĩa với việc H là trực tâm tam giác ABC. (đpcm)

Sắp xếp các giá trị theo thứ tự không giảm:

$0,290$   $0,398$   $0,399$   $0,401$   $0,402$   $0,402$   $0,405$   $0,406$   $0,408$   $0,410$

Tứ phân vị thứ nhất là $399$, tứ phân vị thứ ba là $406$, do đó \Delta_Q=7ΔQ​=7.

Đoạn số liệu không bất thường là [Q_1-1,5 \Delta_QQ1​−1,5 ΔQ​ ; Q_3+1,5 \Delta_QQ3​+1,5ΔQ​] = [$388,5$ ; $416,5$].

Theo đoạn số liệu không bất thường, ta thấy $0,209$ không thuộc đoạn này, do đó kết luận của Bình là hợp lí.

Nghi ngờ của Bình là có cơ sở. Giá trị 0,290 s là một giá trị ngoại lệ (outlier) và cần được loại bỏ khỏi kết quả đo.