Ta có:

\(P=\dfrac{5}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{xy}=\dfrac{5}{x^2+y^2}+\dfrac{5}{2xy}+\dfrac{1}{2xy}\\ =5\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)+\dfrac{1}{2xy}\)

Với hai số dương \(x;y\) , bằng cách khai triển tương đương hai vế ta dễ dàng chứng minh được \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (BĐT Cauchy-Schwarz)

Áp dụng vào biểu thức P ta có:

\(P\ge5\left(\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}\right)+\dfrac{1}{2xy}\\ \ge5\left(\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\right)+\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2"cosy"}\\ \ge\dfrac{5.4}{3^2}+\dfrac{2}{3^2}=\dfrac{22}{9}\)

Dấu \('='\) xảy ra khi \(x=y=\dfrac{3}{2}\)

\(giúp\) \(mình\) \(với\) ☹

☹☹☹☹

a: Xét (M;MH) có

AC,AH là các tiếp tuyến

Do đó: MA là phân giác của góc CMH

=>\(\hat{CMH}=2\cdot\hat{AMH}\)

Xét (M;MH) có

BH,BD là các tiếp tuyến

Do đó: MB là phân giác của góc HMD

=>\(\hat{HMD}=2\cdot\hat{HMB}\)

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>\(\hat{AMB}=90^0\)

=>\(\hat{AMH}+\hat{BMH}=90^0\)

=>\(2\left(\hat{AMH}+\hat{BMH}\right)=2\cdot90^0=180^0\)

=>\(\hat{CMD}=180^0\)

=>C,M,D thẳng hàng

mà MC=MD

nên M là trung điểm của CD

Xét hình thang ACDB có

O,M lần lượt là trung điểm của CD,AB

=>OM là đường trung bình của hình thang ACDB

=>OM//AC//BD

=>OM⊥CD tại M

Xét (O) có

OM là bán kính

CD⊥OM tại M

Do đó: CD là tiếp tuyến tại M của (O)

b: AC+BD

=AH+HB

=AB không đổi

Xét ΔMAB vuông tại M có MH là đường cao

nên \(HA\cdot HB=MH^2\)

=>\(AC\cdot BD=MH^2\le MO^2\)
Dấu '=' xảy ra khi H trùng với O

=>MO⊥AB tại O

Xét ΔMAB có

MO là đường cao

MO là đường trung tuyến

Do đó: ΔMAB cân tại M

=>MA=MB

=>M là điểm chính giữa của cung AB

a; Xét (O) có

\(\hat{ABH}\) là góc nội tiếp chắn cung AH

\(\hat{MBH}\) là góc nội tiếp chắn cung MH

sđ cung AH=sđ cung MH

Do đó; \(\hat{ABH}=\hat{MBH}\)

=>BH là phân giác của góc SBA

Xét (O) có

ΔHAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔHAB vuông tại H

=>BH⊥SA tại H

Xét ΔBAS có

BH là đường cao

BH là đường phân giác

Do đó: ΔBAS cân tại B

=>BA=BS

=>S nằm trên (B;BA)

b: ΔBAS cân tại B

mà BH là đường cao

nên H là trung điểm của AS

Xét ΔBAK và ΔBSK có

BA=BS

\(\hat{ABK}=\hat{SBK}\)

BK chung

DO đó: ΔBAK=ΔBSK

=>\(\hat{BAK}=\hat{BSK}\)

=>\(\hat{BSK}=90^0\)

=>KS là tiếp tuyến tại S của (B;BA)

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=5^2+12^2=25+144=169=13^2\)

=>BC=13(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có sin C=\(\frac{AB}{BC}=\frac{5}{13}\)

nên \(\hat{C}\) ≃22 độ

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot13=5\cdot12=60\)

=>\(AH=\frac{60}{13}\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Sửa đề: phân giác BD

Vì BD⊥BE

nên BE là phân giác ngoài tại đỉnh B của ΔABC

Xét ΔABC có BD là phân giác

nên \(\frac{BA}{BC}=\frac{AD}{DC}\) (1)

Xét ΔBAC có BElà phân giác ngoài

nên \(\frac{BA}{BC}=\frac{EA}{EC}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{DA}{DC}=\frac{EA}{EC}\)

=>\(DA\cdot EC=DC\cdot EA\)

Ta có:

\(\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{b}+1\right)\ge4\)

\(\sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}-3\ge0\)

Áp dụng BĐT Cô si, ta có:

\(\sqrt{ab}\le\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow0\le\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}+\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-3\)

\(\Rightarrow0\le\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2+4\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-12\)

\(\Rightarrow0\le\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}-2\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+6\right)\)

Vì \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+6>0\)

\(\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}-2\ge0\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge2\)

Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:

\(P=\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^{^2}}{a+b}=a+b\ge\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2}=\dfrac{2^2}{2}=2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)

a)

Đk: \(x+5\ge0\Rightarrow x\ge-5\)

\(\sqrt{4x+20}-2\sqrt{x+5}+\sqrt{9x+45}=12\\ \Leftrightarrow\sqrt{4\left(x+5\right)}-2\sqrt{x+5}+\sqrt{9\left(x+5\right)}=12\\ \Leftrightarrow2\sqrt{x+5}-2\sqrt{x+5}+3\sqrt{x+5}=12\\ \Leftrightarrow3\sqrt{x+5}=12\\ \Leftrightarrow\sqrt{x+5}=4\\ \Leftrightarrow x+5=16\\ \Rightarrow x=11\)

b.

\(\sqrt{x^2-10x+25}=6\)

Đk: \(x^2-10x+25=\left(x-5\right)^2\ge0;\forall x\inℝ\)

\(\sqrt{x^2-10x+25}=6\\ \Leftrightarrow\sqrt{\left(x-5\right)^2}=6\\ \Rightarrow|x-5|=6\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-5=6\\x-5=-6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=11\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Đs....