câu 1

\(\hept{\begin{cases}2x^2+3xy-2y^2-5\left(2x-y\right)=0\left(1\right)\\x^2-2xy-3y^2+15=0\left(2\right)\end{cases}}\)

pt (1) \(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)\left(x+2y\right)-5\left(2x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)\left(x+2y-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=2x\\x=5-2y\end{cases}}\)

hpt \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2x\\x^2-2x.2x-3\left(2x\right)^2+15=0\end{cases}\left(3\right)}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=5-2y\\\left(5-2y\right)^2-2\left(5-2y\right)y-3y^2+15=0\end{cases}\left(4\right)}\)

hpt (3) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2x\\-15x^2+15=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1;y=2\\x=-1;y=-2\end{cases}}}\)

hpt(4) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5-2y\\5y^2-30y+40=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=2;x=1\\y=4;x=-3\end{cases}}}\)

Vậy hpt đã cho có nghiệm (1;2),(-1;-2),(-3;4)

\(\hept{\begin{cases}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=5\\x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=9\end{cases}}\left(ĐK:x\ne0;y\ne0\right)\).

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)=5\\\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(y^2+\frac{1}{y^2}\right)=9\end{cases}}\).

Đặt \(x+\frac{1}{x}=a,y+\frac{1}{y}=b\)thì \(x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2;y^2+\frac{1}{y^2}=b^2-2\). Hệ phương trình trở thành:

\(\hept{\begin{cases}a+b=5\\a^2-2+b^2-2=9\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=5\\a^2+b^2=13\end{cases}}\).

Đặt \(a+b=C,ab=D\)thì \(\left(a+b\right)^2=C^2\Leftrightarrow a^2+b^2+2D=C^2\Leftrightarrow a^2+b^2=C^2-2D\). Hệ phương trình trở thành:

\(\hept{\begin{cases}C=5\\C^2-2D=13\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}C=5\\25-2D=13\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}C=5\\D=6\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=5\\ab=6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=5-b\\ab=6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=5-b\\\left(5-b\right)b=6\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=5-b\\-b^2+5b-6=0\end{cases}}\).

Xét phương trình \(\left(b-3\right)\left(b-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b=3\\b=2\end{cases}}\).

Với \(b=3\)thì \(a=2\)

Với \(b=2\)thì \(a=3\)

- Với \(b=3\)và \(a=2\):

+ Với \(b=3\)thì \(y+\frac{1}{y}=3\Leftrightarrow\frac{y^2+1}{y}=\frac{3y}{y}\)

\(\Rightarrow y^2+1=3y\)

\(\Leftrightarrow y^2-3y+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{5}{4}\).

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}\\y-\frac{3}{2}=\frac{-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\y=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)(thỏa mãn ĐKXĐ).

+ Với \(a=2\)thì \(x+\frac{1}{x}=2\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}=\frac{2x}{x}\).

\(\Rightarrow x^2+1=2x\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\).

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\)(thỏa mãn ĐKXĐ).

- Với \(b=2\)và \(a=3\):

+ Với \(b=2\)thì \(y+\frac{1}{y}=2\Leftrightarrow\frac{y^2+1}{y}=\frac{2y}{y}\).

\(\Rightarrow y^2+1=2y\)

\(\Leftrightarrow y^2-2y+1=0\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow y-1=0\Leftrightarrow y=1\)(thỏa mãn ĐKXĐ).

+ Với \(a=3\)thì \(x+\frac{1}{x}=3\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}=\frac{3x}{x}\).

\(\Rightarrow x^2+1=3x\).

\(\Leftrightarrow x^2-3x+1=0\)..

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)(thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy hệ phương trình có tậpnghiệm \(\left(x;y\right)=\left\{1;\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\right\};\left\{\frac{3\pm\sqrt{5}}{2};1\right\}\).

\(A=x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\le\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y+2\right)}\)

\(=\sqrt{x+y+2}\le\sqrt{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}+2}=\sqrt{2+\sqrt{2}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Ko đăng câu hỏi linh tinh lên diễn đàn ạ

mình cho bạn xin một vé báo cáo

\(cos^2\alpha.cot\alpha-sin^2\alpha.tan\alpha=2cot2\alpha\)

\(\Leftrightarrow cos^2\alpha.cot\alpha-sin^2\alpha.tan\alpha=\frac{cot^2\alpha-1}{cot\alpha}\)

\(\Leftrightarrow cos^2\alpha.cot^2\alpha-sin^2\alpha=cot^2\alpha-1\)

\(\Leftrightarrow\left(cos^2\alpha+sin^2\alpha\right)cot^2\alpha-sin^2\alpha cot^2\alpha-sin^2\alpha=cot^2\alpha-1\)

\(\Leftrightarrow cot^2\alpha-\left(cos^2\alpha+sin^2\alpha\right)=cot^2\alpha-1\)

\(\Leftrightarrow cot^2\alpha-1=cot^2\alpha-1\)

Đẳng thức cuối cùng đúng, mà ta biến đổi tương đương nên đẳng thức ban đầu đúng. Do đó ta có đpcm. 

thật là buồn 

Chia buồn nhưng thặc xúc đồng:") Gớt nước mắt

Mình mong các bạn giải giúp mình bài này bởi đây là một bài khó kinh khủng =((

Các bạn nhớ chỉ dùng Cauchy hay bunnha hay j đó th nhe đừng dùng đạo hàm hay định lý karamata =((