=> \(N=\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\right)+3\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\)

mà ta có bđt: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac32\)

ta có bđt: \(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac32\)

=> \(3\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\ge3\cdot\frac32=\frac92\)

=> \(N\ge\frac32+\frac92=6\)

dấu "=" xảy ra khi : a=b=c=1

=> \(N=(a2b+c+b2a+c+c2a+b)+3(1b+c+1a+c+1a+b)N=(b+ca2​+a+cb2​+a+bc2​)+3(b+c1​+a+c1​+a+b1​)\)

mà ta có bđt: \(a2b+c+b2a+c+c2a+b≥(a+b+c)22(a+b+c)=a+b+c2=32b+ca2​+a+cb2​+a+bc2​≥2(a+b+c)(a+b+c)2​=2a+b+c​=23​\)

ta có bđt: \(1b+c+1a+c+1a+b≥92(a+b+c)=32b+c1​+a+c1​+a+b1​≥2(a+b+c)9​=23​\)

=> \(3(1b+c+1a+c+1a+b)≥3⋅32=923(b+c1​+a+c1​+a+b1​)≥3⋅23​=29​\)

=> \(N≥32+92=6N≥23​+29​=6\)

dấu "=" xảy ra khi : a=b=c=1

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là:

15x12=180(cm2)

Trường hợp 1: Giảm cạnh 15cm

Độ dài cạnh 15cm sau khi giảm:

15-3=12(cm)

Độ dài cạnh kia sau khi điều chỉnh để diện tích không đổi là:

180:12=15(cm)

Số cm cần tăng cạnh kia là:

15-12=3(cm)

Trường hợp 2: Giảm cạnh 12cm

Độ dài cạnh 12cm sau khi giảm là:

12-3=9(cm)

Độ dài cạnh kia sau khi điều chỉnh để diện tích không đổi là:

180:9=20(cm)

Số cm cần tăng cạnh kia là:

20-15=5(cm)

⇒ đáp án A và D

a và d

nhận thấy: \(\left(a^2+1^2\right)\left(1^2+b^2\right)\ge\left(a\cdot1+b\cdot1\right)^2=\left(a+b\right)^2\)

CMTT: \(\Rightarrow\left(b^2+1\right)\left(1+c^2\right)\ge\left(b\cdot1+c\cdot1\right)^2=\left(b+c\right)^2\)

\(\left(c^2+1\right)\left(1^2+a^2\right)\ge\left(c\cdot1+a\cdot1\right)^2=\left(c+a\right)^2\)

=> \(\left\lbrack\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\right\rbrack^2\ge\left\lbrack\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right\rbrack^2\)

vì hai vế đều dương nên căn bậc cả hai vế ta dc

\(\Rightarrow\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{a}{1}=\frac{1}{b}\Rightarrow ab=1\)

\(\frac{b}{1}=\frac{1}{c}\Rightarrow bc=1\)

\(\frac{c}{1}=\frac{1}{a}\Rightarrow ac=1\)

=> a=b=c=1

a) \(\Rightarrow\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left\lbrack\left(\sqrt{a+1}\right)^2+\left(\sqrt{b+1}\right)^2+\left(\sqrt{c+1}\right)^2\right\rbrack\)

\(VT^2\le3\left(a+b+c+3\right)=12\)

=> \(VT\le2\sqrt3<3,5\)

b) => \(VT^2\le3\left(2a+2b+2c\right)=6\)

=> \(VT\le\sqrt6\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\frac{\sqrt{a+b}}{1}=\frac{\sqrt{b+c}}{1}=\frac{\sqrt{c+a}}{1}\)

=> a=b=c=\(\frac13\)

Đúng nhầm ạ:))

cậu ơi:), có bài gì cậu tung hết một thể cho tớ làm chứ giờ ăn cơm cứ đi hành tớ v

nhận thấy: \(\frac{a+2b+c}{1+a^2}=\frac{\left(a+2b+c\right)\left(1+a^2\right)-a^2\left(a+2b+c\right)}{1+a^2}=a+2b+c-\frac{a^2\left(a+2b+c\right)}{1+a^2}\)

mà \(\frac{a^2\left(a+2b+c\right)}{1+a^2}\le\frac{a^2\left(a+2b+c\right)}{2a}=\frac{a\left(a+2b+c\right)}{2}=\frac{a^2+2ab+ac}{2}\)

=> \(\frac{a+2b+c}{1+a^2}\ge a+2b+c-\frac{a^2+2ab+ac}{2}\)

CMTT:=> \(\frac{b+2c+d}{1+b^2}\ge b+2c+d-\frac{b^2+2bc+bd}{2}\)

\(\frac{c+2d+a}{1+c^2}\ge c+2d+a-\frac{c^2+2dc+ac}{2}\)

\(\frac{d+2a+b}{1+d^2}\ge d+2a+b-\frac{d^2+2ad+bd}{2}\)

=> \(VT\ge4\left(a+b+c+d\right)-\frac12\left(a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2bc+2dc+2ad+ac+bd+ac+bd\right)\) \(VT\ge4\cdot4-\frac12\left(a+b+c+d\right)^2=16-\frac12\cdot16=8\left(đpcm\right)\)

Chắc để tối nay tung lên một thể:))

Final Answer

\(\boxed{\frac{a^{2}}{a + b^{2}} + \frac{b^{2}}{b + c^{2}} + \frac{c^{2}}{c + a^{2}} \geq \frac{a + b + c}{2}}\)

a=b=c=1

ta có: \(\frac{a^3}{a^2+b}=a-\frac{ab}{a^2+b}\ge a-\frac{\sqrt{b}}{2}\)

=> \(VT\ge\left(a+b+c\right)-\frac12\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)

ta có \(\sqrt{a}=\sqrt{a\cdot1}\le\frac{a+1}{2}\)

=> \(VT\ge\left(a+b+c\right)-\frac{a+b+c+3}{4}=\frac{3\left(a+b+c\right)-3}{4}\)

\(VT\ge\frac{3\cdot3-3}{4}=\frac64=\frac32\)

dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

a=b=c=1

ta có: \(\frac{a}{1+b^2c}=a-\frac{ab^2c}{1+b^2c}\)

mà \(1+b^2c\ge2\sqrt{1\cdot b^2\cdot c}=2b\sqrt{c}\)

\(\Rightarrow\frac{ab^2c}{1+b^2c}\le\frac{ab^2c}{2b\sqrt{c}}=\frac{ab\sqrt{c}}{2}\)

=> \(\frac{a}{1+b^2c}\ge a-\frac{ab\sqrt{c}}{2}\)

=> \(VT\ge\left(a+b+c+d\right)-\frac12\left(ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}\right)\)

\(VT\ge4-\frac12\left(ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}\right)\)

Để VT\(\ge2\) => \(ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}\le4\)

mà \(\sqrt{c}\le\frac{c+1}{2}\)

=> \(ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}\le\frac12\left(abc+bcd+cda+dab+ab+bc+cd+da\right)\)

ta có: \(ab+bc+cd+da=b\left(a+c\right)+d\left(c+a\right)=\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)

ta có bđt: \(\left(a+c\right)\left(b+d\right)\le\left(\frac{a+c+b+d}{2}\right)^2=4\)

ta có: \(abc+bcd+cda+dab=ac\left(b+d\right)+bd\left(c+a\right)\)

mà \(ac\le\frac{\left(a+c\right)^2}{4},bd\le\frac{\left(b+d\right)^2}{4}\)

=> \(abc+bcd+cda+dab\le\frac{\left(a+c\right)^2}{4}\left(b+d\right)+\frac{\left(b+d\right)^2}{4}\left(c+a\right)\)

\(\Rightarrow abc+bcd+cda=dab\le\frac{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}{4}\left(a+b+c+d\right)=\left(a+c\right)\left(b+d\right)\le4\)

=> \(ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}\le\frac12\left(4+4\right)=4\)

=> \(VT\ge4-\frac12\cdot4=2\)

2x-1>=10

=>2x>=11

=>\(x\ge\frac{11}{2}\)

bài 5:

đổi 5,25 tấn = 5250 kg

Gọi số thùng bia tối đa xe có thể chở là x (x thuộc N*)

Tổng khối lượng của bia và bác lái xe không vượt quá trọng tải cho phép của xe nên ta có bất phương trình; \(6,7x + 65 \le 5250\)

\(\Leftrightarrow6,7x\le5185\Leftrightarrow x\le\frac{5185}{6,7}\approx773,88\)

vậy xe có thể chở tối đa 773 thùng bia

bài 4:

Gọi quãng đường tối đa hành khách có thể di chuyển là x (km) (x > 1)

Số tiền hành khách phải trả cho quãng đường vượt quá 1 km đầu tiên là: 12(x-1) (nghìn đồng)

Tổng số tiền hành khách phải trả không vượt quá 200 nghìn đồng nên ta có bất phương trình:

\(15+12(x-1)\le200\Leftrightarrow15+12x-12\le200\)

\(\Leftrightarrow12x+3\le200\Leftrightarrow12x\le197\)

\(\Leftrightarrow x \le \frac{197}{12} \approx 16,42\)

vậy hành khách có thể di chuyển tối đa 16 km

bài 3:

\(a.\frac{2x+3}{x+2}>1\) (đkxđ: x khác -2)

\(\Leftrightarrow \frac{2x+3}{x+2} - 1 > 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{2x+3 - (x+2)}{x+2} > 0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x+2}>0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>-1\\ x<-2\end{array}\right.\)

\(b.3x^2+10x-8<0\)

\(\Leftrightarrow(3x-2)(x+4)<0\)

\(\Leftrightarrow -4 < x < \frac{2}{3}\)

\(c.\frac{4-x}{x-9}-\frac{1}{x-1}>0\) (đkxđ: \(x \neq 9;\ x \neq 1\) )

\(\Leftrightarrow \frac{(4-x)(x-1) - (x-9)}{(x-9)(x-1)} > 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{-x^2 + 5x - 4 - x + 9}{(x-9)(x-1)} > 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{-x^2 + 4x + 5}{(x-9)(x-1)} > 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{-(x+1)(x-5)}{(x-9)(x-1)} > 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{(x+1)(x-5)}{(x-9)(x-1)} < 0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}-1 < x < 1\\5 < x < 9\end{array}\right.\)

\(d.x-\frac{5x}{6}-3>\frac{x}{3}-\frac{x}{6}\)

\(\Leftrightarrow x - \frac{5x}{6} - \frac{x}{3} + \frac{x}{6} > 3\)

\(\Leftrightarrow \left(1 - \frac{5}{6} - \frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)x > 3\)

\(\Leftrightarrow0x>3\) (vô lý)

vậy bất phương trình vô nghiệm

\(\frac{x+5}{6} + \frac{x-1}{3} \le \frac{x+3}{2} - 1\)

\(\Leftrightarrow \frac{x+5 + 2(x-1)}{6} \le \frac{3(x+3) - 6}{6}\)

\(\Leftrightarrow x + 5 + 2x - 2 \le 3x + 9 - 6\)

\(\Leftrightarrow 3x + 3 \le 3x + 3\)

\(\Leftrightarrow0x\le0\) (luôn đúng với mọi số thực)

vậy bất phương trình có vô số nghiệm

\(f.\frac{x-1}{99}+\frac{x-3}{97}+\frac{x-5}{95}<\frac{x-2}{98}+\frac{x-4}{96}+\frac{x-6}{94}\)

\(\Leftrightarrow \left(\frac{x-1}{99} + 1\right) + \left(\frac{x-3}{97} + 1\right) + \left(\frac{x-5}{95} + 1\right) < \left(\frac{x-2}{98} + 1\right) + \left(\frac{x-4}{96} + 1\right) + \left(\frac{x-6}{94} + 1\right)\)

\(\Leftrightarrow \frac{x+98}{99} + \frac{x+98}{97} + \frac{x+98}{95} < \frac{x+98}{98} + \frac{x+98}{96} + \frac{x+98}{94}\)

\(\Leftrightarrow (x+98)\left(\frac{1}{99} + \frac{1}{97} + \frac{1}{95} - \frac{1}{98} - \frac{1}{96} - \frac{1}{94}\right) < 0\)

vì \(\left(\frac{1}{99} + \frac{1}{97} + \frac{1}{95} - \frac{1}{98} - \frac{1}{96} - \frac{1}{94}\right) < 0\) nên\(x+98>0\Leftrightarrow x>-98\)

Bài 1:

a: \(4\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)^3\)

=>\(4x^3+4y^3\ge x^3+y^3+3x^2y+3xy^2\)

=>\(3x^3+3y^3-3xy^2-3x^2y\ge0\)

=>\(x^3+y^3-xy^2-x^2y\ge0\)

=>\(\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-xy\left(x+y\right)\ge0\)

=>\(\left(x+y\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)

=>\(\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y>0\)

=>ĐPCM

b: \(2\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)

=>\(2x^3+2y^3\ge x^3+xy^2+x^2y+y^3\)

=>\(x^3+y^3-xy^2-x^2y\ge0\)

=>\(\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-xy\left(x+y\right)\ge0\)

=>\(\left(x+y\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)

=>\(\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng khi x>0; y>0)

=>ĐPCM

c:Sửa đề: \(\frac{x^2+1}{x}\ge2\) (1)

=>\(x+\frac{1}{x}\ge2\)

mà \(x+\frac{1}{x}\ge2\cdot\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\forall x\) >0

nên (1) đúng khi x>0

=>ĐPCM

Bài 2:

a: \(2+\frac{3\left(x+1\right)}{8}\le3-\frac{x-1}{4}\)

=>\(\frac{16+3\left(x+1\right)}{8}\le\frac{24}{8}-\frac{2\left(x-1\right)}{8}\)

=>16+3(x+1)<=24-2(x-1)

=>16+3x+3<=24-2x+2

=>3x+19<=-2x+26

=>5x<=7

=>x<=7/5

b: \(\frac{3x+5}{2}-1\le\frac{x+2}{3}+x\)

=>\(\frac{3x+5-2}{2}\le\frac{x+2+3x}{3}\)

=>\(\frac{3x+3}{2}\le\frac{4x+2}{3}\)

=>3(3x+3)-2(4x+2)<=0

=>9x+9-8x-4<=0

=>x+5<=0

=>x<=-5

c: \(\left(x-1\right)^2+\left(x-3\right)^2\ge x^2+\left(x+1\right)^2\)

=>\(x^2-2x+1+x^2-6x+9\ge x^2+x^2+2x+1\)

=>-8x+10>=2x+1

=>-10x>=-9

=>x<=9/10

d: \(\frac{\left(2x-1\right)^2}{8}<\frac{\left(3-x\right)^2}{2}\)

=>\(\frac{4x_{}^2-4x+1}{8}\le\frac{4\left(x^2-6x+9\right)}{8}\)

=>\(4x^2-4x+1\le4\left(x^2-6x+9\right)\)

=>\(4x_{}^2-4x+1\le4x^2-24x+36\)

=>-4x+24x<=36-1

=>20x<=35

=>x<=7/4