\(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{49\cdot50}\)

\(=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac{1}{50}-2\left(\frac12+\frac14+\cdots+\frac{1}{50}\right)\)

\(=1+\frac12+\cdots+\frac{1}{50}-1-\frac12-\cdots-\frac{1}{25}\)

\(=\frac{1}{26}+\frac{1}{27}+\cdots+\frac{1}{50}\)

\(VT=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{5.6}+\cdots+\frac{1}{49.50}\)

\(=\left(1-\frac12\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\left(\frac15-\frac16\right)+\cdots+\left(\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\right)\)

\(=\left(1+\frac13+\frac15+\cdots+\frac{1}{49}\right)-\left(\frac12+\frac14+\frac16+\cdots+\frac{1}{50}\right)\)

\(=\left(1+\frac12+\frac14+\frac14+\cdots+\frac{1}{50}\right)-2.\left(\frac12+\frac14+\frac16+\cdots+\frac{1}{50}\right)\)

\(=\left(1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots+\frac{1}{50}\right)-\left(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac{1}{25}\right)\)

\(=\frac{1}{26}+\frac{1}{27}+\cdots+\frac{1}{50}=VP\left(đpcm\right).\)

câu 1:

- một số loài hoa em biết là: hoa hồng, hoa cúc, hoa sen, hoa hướng dương, hoa lan, hoa mai, hoa đào,...

- em có thể nhận ra các loài hoa qua màu sắc, hình dáng, kích thước, đặc điểm của cánh hoa, lá, thân và đặc biệt là mùi hương. Ngoài ra, em có thể nhận biết một số loài hoa bằng cách chạm vào hoặc ngửi hương thơm của chúng

Câu 2:

nhan đề “Vừa nhắm mắt vừa mở cửa sổ” rất độc đáo và gợi sự tò mò vì có sự kết hợp tưởng như đối lập giữa “nhắm mắt” và “mở cửa sổ”. Nhan đề gợi ra cách cảm nhận thế giới tht đặc biệt: khi ko nhìn bằng mắt, con ng vẫn có thể mở lòng để cảm nhận thiên nhiên bằng thính giác, khứu giác, xúc giác và nhx giác quan khác. Qua đó, nhan đề còn gợi một thế giới thiên nhiên gần gũi, thơ mộng và đầy điều thú vị đang chờ con ng khám phá

* tác giả: Bùi Ngọc Thuần, sinh năm 1972, quê ở Bình Thuận

- là nhà văn Việt Nam, có nhiều sáng tác dành cho thiếu nhi và mang phong cách trong trẻo, giàu trí tưởng tượng

- một số tác phẩm tiêu biểu: Giăng giăng tơ nhện, Vừa nhắm mắt vừa mở cửa sổ, Một thiên nằm mộng,...

* văn bản:

- xuất xứ: trích từ truyện cùng tên của Nguyễn Ngọc Thuần

- thể loại: truyện ngắn (chc v)

- phg thức biểu đạt: tự sự, kết hợp với miêu tả và biểu cảm (PTBĐ chính: tự sự)

- cội dung: kể về nhân vật “tôi” đc ng bố hướng dẫn cách cảm nhận và khám phá thgiới thiên nhiên bằng nhiều giác quan. Qua đó, văn bản ca ngợi tình yêu thiên nhiên, tình cảm cha con và giúp người đọc nhận ra những điều đẹp đẽ, ý nghĩa trong cuộc sống

1)Tên các loài hoa quen thuộc: Hoa hồng, hoa cúc, hoa mai, hoa đào, hoa nhài, hoa hướng dương, hoa sen.Cách "nhận ra" các loài hoa:

• Bằng thị giác (nhìn):
• Bằng khứu giác (ngửi):
• Bằng xúc giác (chạm):

2)Nhan đề gợi lên nhiều điều thú vị và nghịch lý đầy chất thơ:

• Sự liên tưởng độc đáo: "Nhắm mắt" thường để đi ngủ, nhưng ở đây lại đi kèm với hành động "mở cửa sổ" để đón nhận thế giới.
• Cách cảm nhận sâu sắc: Khi nhắm mắt lại (không dùng thị giác), chúng ta sẽ mở ra cánh cửa của tâm hồn, biết dùng khứu giác, thính giác và sự tinh tế để thấu hiểu, yêu thương thiên nhiên và cuộc sống xung quanh.

3)

• Năm sinh: 1972.
• Quê quán: Bình Thuận.
• Phong cách sáng tác: Gần gũi, trong trẻo, giàu chất thơ, mang đậm nét hồn nhiên của trẻ thơ nhưng chứa đựng nhiều triết lý sâu sắc về cuộc sống.
• Tác phẩm tiêu biểu: Vừa nhắm mắt vừa mở cửa sổ (đạt giải Nhất cuộc vận động sáng tác văn học thiếu nhi năm 2002), Một thiên nằm mộng, Nhện ảo.

• Xét tứ giác \(AFHE\) ta có:
• • \(\widehat{A} = 90^\circ\) (vì \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\))
  • \(\widehat{AEH} = 90^\circ\) (vì \(HE \perp AB\))
  • \(\widehat{AFH} = 90^\circ\) (vì \(HF \perp AC\))
• Tứ giác \(AFHE\) có 3 góc vuông nên \(AFHE\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

• Vì \(AFHE\) là hình chữ nhật (theo câu a) nên:
• • \(AE // FH\) và \(AE = FH\)
• Theo đề bài, \(M\) thuộc tia đối của tia \(FH\) và \(FM = FH\), suy ra:
• • \(FH\) và \(FM\) cùng nằm trên một đường thẳng, nên \(AE // FM\).
  • Do \(AE = FH\) và \(FM = FH\) nên \(AE = FM\).
• Xét tứ giác \(AEFM\) có:
• • \(AE // FM\)
  • \(AE = FM\)
• Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên \(AEFM\) là hình bình hành.

1. Chứng minh \(AM // BC\):
2. • Vì \(AEFM\) là hình bình hành (theo câu b) nên \(AM // EF\) (1).
   • Mặt khác, trong hình chữ nhật \(AFHE\), hai đường chéo \(AH\) và \(EF\) bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Gọi \(O\) là giao điểm của \(AH\) và \(EF\), ta có \(\triangle OAE\) cân tại \(O\) \(\Rightarrow \widehat{AEF} = \widehat{EAH}\).
   • Ta lại có \(\widehat{EAH} = \widehat{B}\) (cùng phụ với \(\widehat{BAH}\)). Suy ra \(\widehat{AEF} = \widehat{B}\).
   • Vì \(\widehat{AEF}\) và \(\widehat{B}\) ở vị trí đồng vị bằng nhau nên \(EF // BC\) (2).
   • Từ (1) và (2) suy ra \(AM // BC\).
3. Chứng minh \(AN // BC\):
4. • Chứng minh tương tự câu b, ta dễ dàng có tứ giác \(AFHN\) là hình bình hành (vì \(AF // EH \Rightarrow AF // EN\) và \(AF = EH = EN\)).
   • Vì \(AFHN\) là hình bình hành nên \(AN // FH\).
   • Mà \(FH \perp AC\) và \(AB \perp AC\) nên \(FH // AB \Rightarrow AN // AB\) (vô lý với tiên đề Euclid nếu \(N\) không nằm trên \(AB\)).
   • Cách 2 nhanh hơn cho \(AN\): Xét \(\triangle AHN\) có \(E\) là trung điểm của \(HN\) (\(EN=EH\)) và \(AE \perp HN\) (vì \(AB \perp HE\)). Do đó \(AE\) vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên \(\triangle AHN\) cân tại \(A \Rightarrow AE\) cũng là phân giác \(\Rightarrow \widehat{EAN} = \widehat{EAH}\).
   • Tương tự với \(\triangle AHM\) cân tại \(A \Rightarrow \widehat{FAM} = \widehat{FAH}\).
   • Tính tổng góc: \(\widehat{MAN} = \widehat{FAM} + \widehat{FAH} + \widehat{EAH} + \widehat{EAN} = 2(\widehat{FAH} + \widehat{EAH}) = 2 \times \widehat{A} = 2 \times 90^\circ = 180^\circ\).
   • Vì \(\widehat{MAN} = 180^\circ\) nên \(A, M, N\) thẳng hàng.

a: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

b: AEHF là hình chữ nhật

=>AE//FH; AE=FH; AF//HE; AF=HE

TA có: FH//AE
=>FM//AE
Ta có: FH=AE

FH=FM

Do đó: AE=FM

Xét tứ giác AEFM có

AE//FM

AE=FM

Do đó; AEFM là hình bình hành

c:AF//HE

=>AF//EN

AF=HE

HE=EN

Do đó: AF=EN

Xét tứ giác AFEN có

AF//EN

AF=EN

Do đó: AFEN là hình bình hành

=>AN//FE và AN=FE

AEFM là hình bình hành

=>AM//FE và AM=FE

AM//FE

AN//FE
mà AN,AM có điểm chung là A

nên N,A,M thẳng hàng

AN=FE

AM=FE

Do đó: AN=AM

=>A là trung điểm của MN

vì \(\left\vert x+\frac13\right\vert>0\)

=> \(\frac{12}{\left\vert x+\frac13\right\vert+4}\le\frac{12}{4}=3\)

dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi: \(x+\frac13=0\)

=> \(x=\frac13\)

\(B = \frac{12}{\vert{}x + \frac{1}{3}\vert{} + 4}\)

Ta có \(\vert{}x + \frac{1}{3}\vert{} \ge 0\) \(\forall x\in\mathbb{R}\)

\(\Longrightarrow\) Mẫu số \(\vert{}x + \frac{1}{3}\vert{} + 4 \ge 4\)

Do phân số có tử số dương \(\left(12>0\right)\) và mẫu số luôn dương, khi mẫu số nhỏ nhất thì phân số đạt giá trị lớn nhất:

\(\frac{12}{\vert{}x + \frac{1}{3}\vert{} + 4} \le \frac{12}{4} = 3\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\vert{}x+\frac{1}{3}\vert{}=0\iff x=-\frac{1}{3}\)

Vậy maxB = 3 khi \(x=-\frac13\)

(Cre:Google)

(Cre:google AI)

Ta có thể viết ( A ) dưới dạng sau:
[
A = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{49} - \frac{1}{50} \right)
]

Tính từng cặp

Mỗi cặp có dạng:
[
\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}
]
Vì vậy, ta có:
[
A = \sum_{k=1}^{25} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k} \right)
]
hoặc viết lại bằng cặp:
[
A = \sum_{k=1}^{25} \frac{1}{2k-1} - \sum_{k=1}^{25} \frac{1}{2k}
]

Tính giá trị A

• 
  
• Tính tổng ( \sum_{k=1}^{25} \frac{1}{2k-1} ): đây là tổng các số hạng lẻ từ 1 đến 49.
• 
  
• Tính tổng ( \sum_{k=1}^{25} \frac{1}{2k} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{25} \frac{1}{k} ).
• 
  

Ước lượng số hạng

Giá trị ( \sum_{k=1}^{25} \frac{1}{k} ) gần xấp xỉ ( \ln(25) + \gamma ) (với ( \gamma ) là hằng số Euler-Mascheroni), xấp xỉ 3.69.
Vì vậy:
[
\sum_{k=1}^{25} \frac{1}{2k} \approx \frac{1}{2} (3.69) \approx 1.845
]
Tổng các số hạng lẻ lại xấp xỉ hơn 3.

Thiết lập bất đẳng thức

Ta có:
[
A \approx \sum_{k=1}^{25} \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2}(3.69)
]
Bằng cách tính sẽ ra được giới hạn trên và dưới cho ( A ):

• 
  
• Khi tính cẩn thận, ta có thể thấy, thực hiện cụ thể thì A dần dần hội tụ về 0.5.
• 
  

Cuối cùng, sau khi kiểm tra, ta sẽ có ( A ) nằm giữa ( \frac{7}{12} ) và ( \frac{5}{6} ).

Kết luận

Vậy nên, ta có:
[
\frac{7}{12} < A < \frac{5}{6}
]
THAM KHẢO

Ta có:

\(A=1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(=\frac{1}{(1.2)}+\frac{1}{(3.4)}+\frac{1}{(5.6)}+...+\frac{1}{(49.50)}\)

Ta có:

A \(>\frac{1}{(1.2)}+\frac{1}{\left(3.4\right)}\)
\(=\frac12+\frac{1}{12}\)
\(=\frac{7}{12}\)

Mặt khác:

\(A=1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(=1-\frac12+(\frac13-\frac14)+(\frac15-\frac16)+...+(\frac{1}{49}-\frac{1}{50})\)

Vì các số trong ngoặc đều dương nên:

A \(<1-\frac12+\frac13\)
= 5/6

Vậy: \(\frac{7}{12}<\) A \(<\frac56\) (đpcm)

unit 1 : hobbies

• like / love / enjoy / hate + V-ing
  → I enjoy reading books.
  → She likes playing badminton.
• like + to V
  → I like to read books.
• prefer + V-ing + to + V-ing
  → I prefer reading books to watching TV.
• prefer + noun + to + noun
  → I prefer tea to coffee.
• What do you like doing in your free time?
  → I like playing badminton.
• What is your hobby?
  → My hobby is collecting stamps.
• When did you start your hobby?
  → I started it two years ago.
• How often do you do it?
  → I do it every day.
• Hiện tại đơn:
  → I/You/We/They + V
  → He/She/It + V-s/es
• Phủ định:
  → S + don't/doesn't + V
• Nghi vấn:
  → Do/Does + S + V?
• Trạng từ tần suất:
  → always, usually, often, sometimes, rarely, never
• Vị trí:
  → S + trạng từ + V
  → I usually play badminton.
  → S + be + trạng từ
  → She is always happy.
• unit 2 : health
• -Câu mệnh lệnh:
  → V + ...
  → Drink more water.
• -Mệnh lệnh phủ định:
  → Don't + V
  → Don't eat too much fast food.
• -Lời khuyên:
  → S + should + V
  → You should eat more vegetables.
• -Không nên:
  → S + shouldn't + V
  → You shouldn't stay up late.
• -Sao bạn không + V...?
  → Sao con không đi ngủ sớm?
• -Hãy cùng nhau + V
  → Hãy chơi thể thao.
• -Tốt hơn là + V
  → Bạn nên đi khám bác sĩ.
• -Bệnh:
  → có/có + a/an + bệnh
  → tôi bị đau đầu.
  → Cô ấy bị đau răng.
• -Có chuyện gì với anh vậy?
  → tôi bị đau đầu.
• -Có chuyện gì với anh vậy?
  → tôi bị đau họng.
• -Bạn cảm thấy thế nào?
  → tôi cảm thấy mệt mỏi.
• -thêm + danh từ
  → ăn nhiều rau hơn
• -less + danh từ không đếm được
  → eat less sugar
• unit 3: phục vụ cộng đồng
• -Quá khứ đơn:
  → S + V2/V-ed
  → We visited an old people's home yesterday.
• -Phủ định quá khứ:
  → S + didn't + V
  → I didn't visit the museum.
• -Nghi vấn quá khứ:
  → Did + S + V?
  → Did you help them?
• -To be ở quá khứ:
  → Tôi/Anh/Cô/Nó + là
  → Bạn/Chúng ta/Họ + đã là
• -Phủ định:
  → wasn't / weren't
• -Nghi vấn:
  → Was/Were + S + ...?
• -Dấu hiệu quá khứ:
  → yesterday
  → last night/week/month/year
  → ago
  → in + năm trong quá khứ
• -Động từ có quy tắc:
  → play → played
  → visit → visited
  → help → helped
• -Động từ bất quy tắc:
  → đi → đi
  → đã → →
  làm →
  → thấy → thấy
  → ăn → ăn
  → làm → làm
  → cho → cho
  → nhận → lấy
  → đến → đến
  → mua → mua
• cấu trúc nâng cao nên nhớ
• Because + mệnh đề, mệnh đề
  → I stayed home because I was sick.
• Mệnh đề + so + mệnh đề
  → I was sick, so I stayed home.
• Mặc dù + mệnh đề, mệnh đề
  → Dù mệt mỏi, tôi vẫn giúp đỡ người khác.
• Mệnh đề + but + mệnh đề
  → I was tired, but I helped other people.
• -too + tính từ + đến V
  → Túi quá nặng để mang theo.
• -tính từ + đủ + cho V
  → Ngài đủ mạnh để nâng chiếc hộp.
• -Phải mất + ai đó + thời gian + để V
  → Tôi mất 30 phút đi bộ đến trường.
• -dành + thời gian + V-ing
  → tôi dành hai tiếng để đọc sách.
• -muốn + đến V
  → tôi muốn tham gia dự án cộng đồng.
• -Bạn có muốn + đến V...?
  → Bạn có muốn giúp chúng tôi không?
• So sánh hơn với tính từ ngắn:
  → S + be + adj-er + than + S
  → Tom is taller than John.
• -So sánh hơn với tính từ dài:
  → S + be + more + adj + than + S
  → This book is more interesting than that book.
• -Một số dạng bất quy tắc:
  → good → better
  → bad → worse
  → many/much → more
  → little → less
  → far → farther/further
• ng: thm khảo

The students were carefully prepared for the final exam.

He received recognition as a good teacher after working hard for a long time.

đáp án nè

1.The students were carefully prepared for the final exam

2.He received recognition as a good teacher after working hard for a long time

chúc bạn học giỏi. (❁´◡`❁)

Cuối cùng, ta lại gặp nhau

Những mảnh ký ức xưa cũ chợt ùa về

Giờ là lúc em hãy dùng con dao găm ấy, tung nhát đâm chí mạng

Ôi, lòng ta sao bỗng trở nên mịt mờ, nhòa lệ

Làm sao một kẻ quái đản như ta có thể cảm nhận được hơi ấm tình yêu của em lúc này?

Ôi, ta vẫn

Nhớ về những ngày tháng ấy

Khi đôi tay ta đan chặt lấy tay em

Ta cùng bước giữa dòng người, làm tròn bổn phận của mình

Nhưng, quá khứ ấy đã lùi xa

Em cũng đã rời xa

Và cả ta cũng chẳng còn là chính mình nữa

Ta đã lạc lối trong vòng xoáy hận thù bất tận của bản thân

#google dịch

Cuối cùng, ta lại gặp nhau
Những mảnh ký ức xưa cũ chợt ùa về
Giờ là lúc em hãy dùng con dao găm ấy, tung nhát đâm chí mạng
Ôi, lòng ta sao bỗng trở nên mịt mờ, nhòa lệ
Làm sao một kẻ quái đản như ta có thể cảm nhận được hơi ấm tình yêu của em lúc này?
Ôi, ta vẫn
Nhớ về những ngày tháng ấy
Khi đôi tay ta đan chặt lấy tay em
Ta cùng bước giữa dòng người, làm tròn bổn phận của mình
Nhưng, quá khứ ấy đã lùi xa
Em cũng đã rời xa
Và cả ta cũng chẳng còn là chính mình nữa
Ta đã lạc lối trong vòng xoáy hận thù bất tận của bản thân

Gọi ba công tắc là x, y, z.

Bật x một lúc rồi tắt. Sau đó bật y và giữ nguyên, còn z để tắt.

Khi vào phòng:

-Bóng đang sáng → công tắc y.

-Bóng tắt nhưng còn nóng → công tắc x.

-Bóng tắt và nguội → công tắc z.