Ta có nhận xét: Hiệu giữa hai thừa số trong tích là: (n+6) - (n+3) = 3. Vì hiệu của chúng bằng 3, đây là một số lẻ, nên trong hai số (n+3) và (n+6) chắc chắn sẽ có một số chẵn và một số lẻ (một số chia hết cho 2 và một số không chia hết cho 2).

Vì tích của hai số tự nhiên luôn chứa ít nhất một thừa số là số chẵn, nên kết quả của tích (n+3)(n+6) luôn chia hết cho 2 (là số chẵn) với mọi số tự nhiên n.

Ta có: (n + 3)(n + 6)

+) TH1: n là số chẵn

Gọi n = 2k

⇒ (n + 3)(n + 6) = (2k)² + 9 * 2k + 18

⇒ (n + 3)(n + 6) = 4k² + 18k + 18

Mà 4k² ⋮ 2;  18k ⋮ 2;  18 ⋮ 2

⇒ 4k² + 18k + 18 ⋮ 2

⇒ (n + 3)(n + 6) ⋮ 2 với n = 2k (1)

+ TH2: n là số lẻ

Gọi n = 2k + 1

⇒ (n + 3)(n + 6) = (2k + 1)² + 9 * (2k +1) + 18

⇒ (n + 3)(n + 6) = 4k² + 4k + 1 + 18k + 9 + 18 (áp dụng hằng đẳng thức Bình phương của một tổng)

⇒ (n + 3)(n + 6) = 4k² + 22k + 28

Mà 4k² ⋮ 2;  22k ⋮ 2;  28 ⋮ 2

⇒ 4k² + 22k +  28 ⋮ 2

⇒ (n + 3)(n + 6) ⋮ 2 với n = 2k + 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (n + 3)(n + 6) ⋮ 2 với mọi n (đpcm)

góc là \(\hat{A};\hat{B};\hat{C}\)

Cạnh là AB,BC,AC

góc A, B, C

cạnh AB, AC, BC

Vì các số có tận cùng là 0 hoặc 5 (hàng đơn vị)thì luôn chia hết cho 5

Ta có: S = 120 + 25 + 210

+) Vì 120 ⋮ 5; 75 ⋮ 5; 210 ⋮ 5 nên S ⋮ 5

+) vì 120 không chia hết cho 9; 75 không chia hết cho 9; 210 không chia hết cho 9 nên S không chia hết cho 9

Vậy tổng S chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 9

Kẻ đường cao từ \(A\) xuống \(B C\), hoặc đơn giản dùng công thức diện tích.

Ta có: \(S = \frac{1}{2} a r .\)

Mặt khác, \(S = \frac{1}{2} b c sin ⁡ A .\)

Công thức cần chứng minh có thể biến đổi như sau:

\(r \left(\right. cot ⁡ \frac{B}{2} + cot ⁡ \frac{C}{2} \left.\right) = r \frac{sin ⁡ \frac{B + C}{2}}{sin ⁡ \frac{B}{2} sin ⁡ \frac{C}{2}} .\)

Vì \(B + C = 180^{\circ} - A\)

nên \(sin ⁡ \frac{B + C}{2} = cos ⁡ \frac{A}{2} .\)

Do đó \(r \left(\right. cot ⁡ \frac{B}{2} + cot ⁡ \frac{C}{2} \left.\right) = r \frac{cos ⁡ \frac{A}{2}}{sin ⁡ \frac{B}{2} sin ⁡ \frac{C}{2}} .\)

Bây giờ dùng công thức bán kính nội tiếp

\(r = 4 R sin ⁡ \frac{A}{2} sin ⁡ \frac{B}{2} sin ⁡ \frac{C}{2}\)

suy ra:

\(r \left(\right. cot ⁡ \frac{B}{2} + cot ⁡ \frac{C}{2} \left.\right) = 4 R sin ⁡ \frac{A}{2} cos ⁡ \frac{A}{2} = 2 R sin ⁡ A .\)

Theo định lý sin, \(a = 2 R sin ⁡ A .\)

Vậy \(a=r\left(\right.cot⁡\frac{B}{2}+cot⁡\frac{C}{2}\left.\right)\) (Đpcm)
Cái này là mình tham khảo chat gpt, mình cũng chưa học đến ấy bạn

• Xét tứ giác \(AFHE\) ta có:
• • \(\widehat{A} = 90^\circ\) (vì \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\))
  • \(\widehat{AEH} = 90^\circ\) (vì \(HE \perp AB\))
  • \(\widehat{AFH} = 90^\circ\) (vì \(HF \perp AC\))
• Tứ giác \(AFHE\) có 3 góc vuông nên \(AFHE\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

• Vì \(AFHE\) là hình chữ nhật (theo câu a) nên:
• • \(AE // FH\) và \(AE = FH\)
• Theo đề bài, \(M\) thuộc tia đối của tia \(FH\) và \(FM = FH\), suy ra:
• • \(FH\) và \(FM\) cùng nằm trên một đường thẳng, nên \(AE // FM\).
  • Do \(AE = FH\) và \(FM = FH\) nên \(AE = FM\).
• Xét tứ giác \(AEFM\) có:
• • \(AE // FM\)
  • \(AE = FM\)
• Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên \(AEFM\) là hình bình hành.

1. Chứng minh \(AM // BC\):
2. • Vì \(AEFM\) là hình bình hành (theo câu b) nên \(AM // EF\) (1).
   • Mặt khác, trong hình chữ nhật \(AFHE\), hai đường chéo \(AH\) và \(EF\) bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Gọi \(O\) là giao điểm của \(AH\) và \(EF\), ta có \(\triangle OAE\) cân tại \(O\) \(\Rightarrow \widehat{AEF} = \widehat{EAH}\).
   • Ta lại có \(\widehat{EAH} = \widehat{B}\) (cùng phụ với \(\widehat{BAH}\)). Suy ra \(\widehat{AEF} = \widehat{B}\).
   • Vì \(\widehat{AEF}\) và \(\widehat{B}\) ở vị trí đồng vị bằng nhau nên \(EF // BC\) (2).
   • Từ (1) và (2) suy ra \(AM // BC\).
3. Chứng minh \(AN // BC\):
4. • Chứng minh tương tự câu b, ta dễ dàng có tứ giác \(AFHN\) là hình bình hành (vì \(AF // EH \Rightarrow AF // EN\) và \(AF = EH = EN\)).
   • Vì \(AFHN\) là hình bình hành nên \(AN // FH\).
   • Mà \(FH \perp AC\) và \(AB \perp AC\) nên \(FH // AB \Rightarrow AN // AB\) (vô lý với tiên đề Euclid nếu \(N\) không nằm trên \(AB\)).
   • Cách 2 nhanh hơn cho \(AN\): Xét \(\triangle AHN\) có \(E\) là trung điểm của \(HN\) (\(EN=EH\)) và \(AE \perp HN\) (vì \(AB \perp HE\)). Do đó \(AE\) vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên \(\triangle AHN\) cân tại \(A \Rightarrow AE\) cũng là phân giác \(\Rightarrow \widehat{EAN} = \widehat{EAH}\).
   • Tương tự với \(\triangle AHM\) cân tại \(A \Rightarrow \widehat{FAM} = \widehat{FAH}\).
   • Tính tổng góc: \(\widehat{MAN} = \widehat{FAM} + \widehat{FAH} + \widehat{EAH} + \widehat{EAN} = 2(\widehat{FAH} + \widehat{EAH}) = 2 \times \widehat{A} = 2 \times 90^\circ = 180^\circ\).
   • Vì \(\widehat{MAN} = 180^\circ\) nên \(A, M, N\) thẳng hàng.

a: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

b: AEHF là hình chữ nhật

=>AE//FH; AE=FH; AF//HE; AF=HE

TA có: FH//AE
=>FM//AE
Ta có: FH=AE

FH=FM

Do đó: AE=FM

Xét tứ giác AEFM có

AE//FM

AE=FM

Do đó; AEFM là hình bình hành

c:AF//HE

=>AF//EN

AF=HE

HE=EN

Do đó: AF=EN

Xét tứ giác AFEN có

AF//EN

AF=EN

Do đó: AFEN là hình bình hành

=>AN//FE và AN=FE

AEFM là hình bình hành

=>AM//FE và AM=FE

AM//FE

AN//FE
mà AN,AM có điểm chung là A

nên N,A,M thẳng hàng

AN=FE

AM=FE

Do đó: AN=AM

=>A là trung điểm của MN

hay qs bn ơi

Đời đời nhớ ơn

vì \(\left\vert x+\frac13\right\vert>0\)

=> \(\frac{12}{\left\vert x+\frac13\right\vert+4}\le\frac{12}{4}=3\)

dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi: \(x+\frac13=0\)

=> \(x=\frac13\)

\(B = \frac{12}{\vert{}x + \frac{1}{3}\vert{} + 4}\)

Ta có \(\vert{}x + \frac{1}{3}\vert{} \ge 0\) \(\forall x\in\mathbb{R}\)

\(\Longrightarrow\) Mẫu số \(\vert{}x + \frac{1}{3}\vert{} + 4 \ge 4\)

Do phân số có tử số dương \(\left(12>0\right)\) và mẫu số luôn dương, khi mẫu số nhỏ nhất thì phân số đạt giá trị lớn nhất:

\(\frac{12}{\vert{}x + \frac{1}{3}\vert{} + 4} \le \frac{12}{4} = 3\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\vert{}x+\frac{1}{3}\vert{}=0\iff x=-\frac{1}{3}\)

Vậy maxB = 3 khi \(x=-\frac13\)

Đặt \(a = \sqrt{4 - x} \ge 0\)

Đặt \(b = \sqrt{12 + x} \ge 0\)

Từ cách đặt ta có:

\(a^2 + b^2 = (4 - x) + (12 + x) = 16\)

\(b^2 - a^2 = 2x + 8 \implies x + 3 = \frac{b^2 - a^2 - 2}{2}\) (hoặc dùng biểu thức \(28 - x = 2 \cdot 16 - (x+4)\) )

Nhận xét quan trọng: \(28 - x = 2(a^2 + b^2) - \frac{b^2 - a^2 + 8}{2} = \frac{3a^2 + 5b^2 - 8}{2}\)

Tuy nhiên, đơn giản hơn, ta biểu diễn \(x\) và các hệ số theo \(a^2\) và \(\) \(b^2\)

\(x = b^2 - 12 \implies x + 3 = b^2 - 9\)

\(28-x=40-b^2=2a^2+2b^2+8-b^2\ldots\)

Viết lại phương trình ban đầu theo \(a\) và \(b\) :

\((x + 3)ab = 28 - x\)

\(\iff(b^2-a^2-2)ab=2a^2+3b^2\quad\) (sau khi đồng nhất hệ số với \(a^2+b^2=16\) )

Ta có \((x + 3)\sqrt{(4-x)(12+x)} = 28 - x\)

\(\iff(x+3)\sqrt{48 - 8x - x^2}+(x+3)^2=(x+3)^2+28-x\)

\(\iff(x+3)\left(\sqrt{48 - 8x - x^2}+x+3\right)=x^2+5x+37\)

\(\iff(x+3)\sqrt{(4-x)(12+x)}=28-x\)

Bình phương 2 vế \(\Longrightarrow\) \((x + 3)^2(4 - x)(12 + x) = (28 - x)^2\)

\(\iff(x^2+6x+9)(-x^2-8x+48)=x^2-56x+784\)

\(\iff x^4+14x^3+10x^2-272x+352=0\)

\(\iff(x^2+8x-16)(x^2+6x-22)=0\)

Điều kiện: \(x>-3\)

\(x^2 + 8x - 16 = 0 \implies x = -4 \pm 4\sqrt{2}\) (thỏa mãn)

\(x^2 + 6x - 22 = 0 \implies x = -3 \pm \sqrt{31}\) (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của \(S\) là \(S = \left\{ -4 + 4\sqrt{2},\; -3 + \sqrt{31} \right\}\)

1.What do you like doing in your free time?
2. I like surfing the Internet.
3. What does he do at the weekend?
4.He always listens to music.
#Lưu ý là ở câu số 3 trong đề bài gốc của bạn có chữ "weedkend" bị viết thừa chữ 'e', đáp án trên đã chỉnh lại thành "weekend" cho đúng chính tả nhé!

1. what are you doing in your free time?

2. I like surfing the Internet

3. what does he do at the weekend?

4. He always listens to music

từ A kẻ đường thẳng song song BC cắt DC tại E

=> ABCE là hbh

=> AE=BC

mà AD= AE

=> AD=AE

ta có DE=DC-CE=DC-AB=DC-\(\frac{DC}{2}=\frac{DC}{2}=AB\)

mà \(2AD=2AB=CD\)

=> AB=AD

=> DE=AD

từ các điều trên=> AD=AE=DE

=> △ADE đều

=> góc D= 60 độ= góc góc C

=> góc A= góc B= 120 độ

cảm on bn