Cho tam giác đều \(ABC\) , \(M\) nằm trong tam giác đó. Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song \(AC\) và cắt \(BC\) ở \(D\) , kẻ đường thẳng song song với \(AB\) và cắt \(A\) ở \(E\) . Kẻ đường thẳng song song \(BC\) cắt \(AB\) ở \(F\) . Chứng minh rằnga) \(BFMD,CDME,AEMF\) là các hình thang cânb) \(D\hat{M}E=E\hat{M}F=D\hat{M}F\) c) Trong 3 đoạn thẳng \(MA,MB,MC\) đoạn lớn nhất có tổng độ dài nhỏ hơn tổng 2...
Đọc tiếp
Cho tam giác đều \(ABC\) , \(M\) nằm trong tam giác đó. Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song \(AC\) và cắt \(BC\) ở \(D\) , kẻ đường thẳng song song với \(AB\) và cắt \(A\) ở \(E\) . Kẻ đường thẳng song song \(BC\) cắt \(AB\) ở \(F\) . Chứng minh rằng
a) \(BFMD,CDME,AEMF\) là các hình thang cân
b) \(D\hat{M}E=E\hat{M}F=D\hat{M}F\)
c) Trong 3 đoạn thẳng \(MA,MB,MC\) đoạn lớn nhất có tổng độ dài nhỏ hơn tổng 2 đoạn còn lại
a) Chứng minh $BFMD,\ CDME,\ AEMF$ là các hình thang cân.
Vì $MD\parallel AC$ nên: $\widehat{BDM}=\widehat{BCA}=60^\circ$.
Lại có: $\widehat{MFB}=\widehat{CAB}=60^\circ$.
Suy ra: $\widehat{BDM}=\widehat{MFB}$.
Mà $BF\parallel MD$ nên $BFMD$ là hình thang cân.
Tương tự: $CD\parallel ME,\quad \widehat{CDM}=\widehat{DME}=60^\circ$.
Suy ra: $CDME$ là hình thang cân.
Lại có: $AE\parallel MF,\quad \widehat{AEM}=\widehat{EMF}=60^\circ$.
Suy ra: $AEMF$ là hình thang cân.
Vậy: $BFMD,\ CDME,\ AEMF\ $ là các hình thang cân
b) Chứng minh $\widehat{DME}=\widehat{EMF}=\widehat{DMF}$.
Ta có: $MD\parallel AC,\quad ME\parallel AB,\quad MF\parallel BC$.
Mà tam giác $ABC$ đều nên:
$\widehat{CAB}=\widehat{ABC}=\widehat{BCA}=60^\circ$.
Suy ra: $\widehat{DME}=60^\circ$,
$\widehat{EMF}=60^\circ$,
$\widehat{FMD}=60^\circ$.
Vậy: $\widehat{DME}=\widehat{EMF}=\widehat{FMD}=60^\circ$.
c) Chứng minh đoạn lớn nhất trong ba đoạn $MA,MB,MC$ nhỏ hơn tổng hai đoạn còn lại.
Giả sử $MC$ là đoạn lớn nhất.
Qua $M$ kẻ: $MD\parallel AC,\quad ME\parallel AB,\quad MF\parallel BC$.
Ta có:
$MC=MD+DC$,
$MA=ME+EA$,
$MB=MF+FB$.
Do các hình thang cân ở câu a):
$DC=ME,\quad EA=MF,\quad FB=MD$.
Suy ra: $MC=MD+ME$,
$MA=ME+MF$,
$MB=MF+MD$.
Do đó: $MA+MB=(ME+MF)+(MF+MD)$
$=MD+ME+2MF$
$>MD+ME$$=MC$.
Vậy: $MC<MA+MB$.
Tương tự nếu $MA$ hoặc $MB$ là đoạn lớn nhất thì cũng có:
Đoạn lớn nhất trong ba đoạn $MA,MB,MC$ nhỏ hơn tổng hai đoạn còn lại.
a)
ta có FM//BD nên BFMD là hình thang
mà góc FBD = 60 độ
từ hai điều trên => BFMD là hình thang cân
vì MD//EC
=> MDCE là hình thang
mà góc DCE= 60 độ
=> MDCE là hình thang cân
ta có EM//AF
=> EAFM là hình thang
mà góc A=60 độ
b) ta có lí thuyết tổng hai góc kề nhau trong tứ giác = 180 độ
=> góc DME= 180 độ- 60 độ= 120 độ
CMTT: => góc FME= 120 độ
góc FMD= 120 độ
=> góc DME= góc EMF= góc FMD= 120 độ
c) ta có AFME là hình thang cân
=> AM=FE
CMTT: => ED=MC
FD=MB
xét tam giác EDF có:
EF < ED+FD( tính chất đoạn thẳng trong tam giác)
ED < EF+FD( tính chất đoạn thẳng trong tam giác)
FD < EF+ED( tính chất đoạn thẳng trong tam giác)
=> MA < MC+MB
MC < MA+MB
MB < MA+MC
đpcm