3. Chứng minh công thức:

AF/AB + BE/BC + CN/CA = 1 trong tam giác ABC

Giả thiết:

• Tam giác ABC.
• Các điểm F, E, N lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CA.

Cách chứng minh:

Trường hợp đặc biệt:
Nếu F, E, N là các điểm chia các cạnh theo cùng một tỉ lệ (ví dụ: F chia AB theo tỉ lệ x, E chia BC theo tỉ lệ y, N chia CA theo tỉ lệ z sao cho x + y + z = 1).

Chứng minh tổng quát:

• Gọi AF = x·AB, BE = y·BC, CN = z·CA, với x, y, z ∈ (0;1).
• Khi đó:
  \(\frac{A F}{A B} + \frac{B E}{B C} + \frac{C N}{C A} = x + y + z\)
• Nếu ba điểm F, E, N chia ba cạnh theo tỉ lệ x, y, z sao cho x + y + z = 1, thì tổng trên bằng 1.

Trường hợp đặc biệt:
Nếu F, E, N là trung điểm các cạnh, thì mỗi phân số đều bằng 1/2, tổng lại là 3/2 ≠ 1.
Vậy công thức đúng khi ba điểm chia ba cạnh theo tỉ lệ x, y, z với x + y + z = 1.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên d

\(\Rightarrow AA_1||OH||BB_1\)

Áp dụng định lý Thales trong tam giác \(ABA_1\)

\(\dfrac{OH}{AA_1}=\dfrac{BH}{AB}\)

Áp dụng định lý Thales trong tam giác \(ABB_1\)

\(\dfrac{OH}{BB1}=\dfrac{AH}{AB}\)

\(\Rightarrow\dfrac{OH}{AA_1}+\dfrac{OH}{BB_1}=\dfrac{BH}{AB}+\dfrac{AH}{AB}\)

\(\Rightarrow OH.\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=1\)

\(\Rightarrow OH=\dfrac{a.b}{a+b}\)

Do a, b không đổi \(\Rightarrow OH\) không đổi

Hay khoảng cách từ O đến d không đổi khi A, B chạy trên d

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định phương trình đường thẳng CD
Giả sử:

• Tọa độ của điểm A và B thay đổi, nhưng luôn thỏa mãn điều kiện bài toán.
• Điểm C và D được xác định dựa trên A và B qua một quy tắc cụ thể (ví dụ: trung điểm, hình chiếu, giao điểm đường phân giác...).
• Gọi phương trình đường thẳng CD có dạng:
  \(a x + b y + c = 0 (\text{ph}ụ\&\text{nbsp};\text{thu}ộ\text{c}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{o}\&\text{nbsp};\text{t}ọ\text{a}\&\text{nbsp};độ\&\text{nbsp};\text{A},\&\text{nbsp};\text{B})\)

Bước 2: Tìm điểm cố định mà CD luôn đi qua

• Giả định tồn tại điểm cố định \(M \left(\right. x_{0} , y_{0} \left.\right)\) sao cho CD luôn đi qua \(M\) với mọi vị trí của A và B (\(A \neq B\)).
• Thay \(M \left(\right. x_{0} , y_{0} \left.\right)\) vào phương trình CD:
  \(a \left(\right. x_{0} , y_{0} , A , B \left.\right) \cdot x_{0} + b \left(\right. x_{0} , y_{0} , A , B \left.\right) \cdot y_{0} + c \left(\right. x_{0} , y_{0} , A , B \left.\right) = 0 \forall A , B\)
• Phân tích phương trình:
  Biến đổi phương trình về dạng đa thức theo tham số liên quan đến A và B. Để phương trình đúng với mọi A, B, hệ số của các hạng tử chứa tham số phải bằng 0.

Bước 3: Giải hệ phương trình

• Ví dụ: Nếu phương trình có dạng:
  \(\left(\right. m + 1 \left.\right) x_{0} - \left(\right. 2 m - 3 \left.\right) y_{0} + 5 = 0 \forall m\)
• • Tách hệ số của \(m\):
    \(m \left(\right. x_{0} - 2 y_{0} \left.\right) + \left(\right. x_{0} + 3 y_{0} + 5 \left.\right) = 0 \forall m\)
  • Đồng nhất hệ số:
    \(\left{\right. x_{0} - 2 y_{0} = 0 \\ x_{0} + 3 y_{0} + 5 = 0\)
  • Giải hệ:
    \(x_{0} = 2 y_{0} 2 y_{0} + 3 y_{0} + 5 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } y_{0} = - 1 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x_{0} = - 2\)
  • Kết luận: Điểm cố định là \(M \left(\right. - 2 , - 1 \left.\right)\).

Bước 4: Kiểm tra lại

• Thay \(M \left(\right. x_{0} , y_{0} \left.\right)\) vào phương trình CD với các vị trí khác nhau của A, B để xác nhận tính đúng đắn.

Ví dụ minh họa:
Cho tam giác ABC cố định. Trên AB lấy điểm D di động, trên AC lấy điểm E di động sao cho \(A D = C E\). Chứng minh DE luôn đi qua một điểm cố định.

Giải:

• Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ, giả sử \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), \(B \left(\right. 1 , 0 \left.\right)\), \(C \left(\right. 0 , 1 \left.\right)\).
• Bước 2: Gọi \(D \left(\right. t , 0 \left.\right)\) trên AB và \(E \left(\right. 0 , t \left.\right)\) trên AC (vì \(A D = C E = t\)).
• Bước 3: Phương trình DE:
  \(\frac{x - t}{- t} = \frac{y}{t - 0} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x + y = t\)
• Bước 4: Phương trình \(x + y = t\) phụ thuộc vào \(t\). Để DE đi qua điểm cố định \(M \left(\right. x_{0} , y_{0} \left.\right)\):
  \(x_{0} + y_{0} = t \forall t \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x_{0} + y_{0} = 0\)
  Chọn \(M \left(\right. 1 , - 1 \left.\right)\) (nằm trên đường thẳng \(x + y = 0\)).

Kết luận: DE luôn đi qua điểm cố định \(M \left(\right. 1 , - 1 \left.\right)\).

Đáp án:
Đường thẳng CD luôn đi qua điểm cố định \(M \left(\right. x_{0} , y_{0} \left.\right)\) được xác định bằng cách giải hệ phương trình từ phương trình tổng quát của CD145.

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định vị trí các điểm P, I, K, Q
Giả thiết:

• P là trung điểm của AB.
• Q là trung điểm của AC.
• I và K lần lượt là trung điểm của BC và CA.

Bước 2: Tính chất hình học

• Đường trung bình PQ của tam giác ABC song song với BC và có độ dài bằng \(\frac{1}{2} B C\).
• Tứ giác PIKQ là hình bình hành (do PQ // IK và PI // QK).

Bước 3: Tính diện tích PIKQ

• Diện tích hình bình hành PIKQ = \(\frac{1}{2} \times \text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{tam}\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{ABC}\).
• Giả sử tam giác ABC có diện tích \(S_{A B C}\), khi đó:
  \(S_{P I K Q} = \frac{1}{2} S_{A B C}\)

Ví dụ minh họa:
Cho tam giác ABC có diện tích \(20 \textrm{ } \text{cm}^{2}\).

• Diện tích tứ giác PIKQ là:
  \(S_{P I K Q} = \frac{1}{2} \times 20 = 10 \textrm{ } \text{cm}^{2}\)

Kết luận:
Diện tích tứ giác PIKQ bằng một nửa diện tích tam giác ABC nếu các điểm P, I, K, Q là trung điểm của các cạnh134.

Công thức tổng quát:

\(S_{P I K Q} = \frac{1}{2} S_{A B C}\)

Đáp án:
Diện tích tứ giác PIKQ là \(\boxed{\frac{1}{2} S_{A B C}}\).

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định vị trí các điểm P, I, K, Q
Giả thiết:

• P là trung điểm của AB.
• Q là trung điểm của AC.
• I và K lần lượt là trung điểm của BC và CA.

Bước 2: Tính chất hình học

• Đường trung bình PQ của tam giác ABC song song với BC và có độ dài bằng \(\frac{1}{2} B C\).
• Tứ giác PIKQ là hình bình hành (do PQ // IK và PI // QK).

Bước 3: Tính diện tích PIKQ

• Diện tích hình bình hành PIKQ = \(\frac{1}{2} \times \text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{tam}\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{ABC}\).
• Giả sử tam giác ABC có diện tích \(S_{A B C}\), khi đó:
  \(S_{P I K Q} = \frac{1}{2} S_{A B C}\)

Ví dụ minh họa:
Cho tam giác ABC có diện tích \(20 \textrm{ } \text{cm}^{2}\).

• Diện tích tứ giác PIKQ là:
  \(S_{P I K Q} = \frac{1}{2} \times 20 = 10 \textrm{ } \text{cm}^{2}\)

Kết luận:
Diện tích tứ giác PIKQ bằng một nửa diện tích tam giác ABC nếu các điểm P, I, K, Q là trung điểm của các cạnh134.

Công thức tổng quát:

\(S_{P I K Q} = \frac{1}{2} S_{A B C}\)

Đáp án:
Diện tích tứ giác PIKQ là \(\boxed{\frac{1}{2} S_{A B C}}\).

Olm chào em, cảm ơn đánh giá của em về chất lượng bài giảng của Olm, cảm ơn em đã đồng hành cùng Olm trên hành trình tri thức. Chúc em học tập hiệu quả và vui vẻ cùng Olm em nhé!

dễ mà bạn

Olm chào em, cảm ơn đánh giá của em về chất lượng bài giảng của Olm, cảm ơn em đã đồng hành cùng Olm trên hành trình tri thức. Chúc em học tập hiệu quả và vui vẻ cùng Olm em nhé!

g khổ thơ sau:

Đề bài:
"Không có gì từ đến đâu còn quá muộn
Ngọt phải tháng ngày tích nhựa hoa
Sẽ thơm khi qua nắng lửa mùa bội thu
Trái một nắng hạ..."

Trả lời:
Các biện pháp tu từ trong khổ thơ trên gồm:

• Ẩn dụ:
• • "Ngọt phải tháng ngày tích nhựa hoa" (ẩn dụ cho thành quả phải trải qua quá trình tích lũy, rèn luyện).
  • "Sẽ thơm khi qua nắng lửa mùa bội thu" (ẩn dụ cho sự thành công, hạnh phúc sau khi vượt qua thử thách).
• Nhân hóa:
• • "Trái một nắng hạ" (trái được nhân hóa, như mang cảm xúc, trải nghiệm).
• Điệp ngữ:
• • "Không có gì từ đến đâu còn quá muộn" nhấn mạnh ý không bao giờ là quá muộn để bắt đầu hoặc thay đổi.

Bài thơ "Đoàn Thuyền Đánh Cá" của Huy Cận là một tác phẩm tuyệt vời, khắc họa vẻ đẹp của thiên nhiên và cuộc sống lao động của những ngư dân qua những hình ảnh đầy sức sống. Với ngôn ngữ trong sáng, mượt mà, bài thơ mang đến cho người đọc một cảm giác thư thái, hòa mình vào cảnh vật và cảm nhận được tình yêu thiên nhiên, cuộc sống mà tác giả muốn gửi gắm.

Mở đầu bài thơ, Huy Cận đã vẽ lên một khung cảnh thiên nhiên tươi đẹp với biển cả bao la, bầu trời rộng lớn. Cảnh tượng đoàn thuyền đánh cá căng buồm ra khơi không chỉ là một hành động lao động mà còn là biểu tượng của sức sống mãnh liệt, đầy nghị lực và khát khao chinh phục. Những hình ảnh "thuyền ta lái gió với buồm trăng" mang đến cho người đọc một cảm giác mạnh mẽ, một khát vọng chinh phục thiên nhiên vĩ đại.

Những câu thơ sau lại làm người đọc cảm nhận được không khí náo nhiệt, vui tươi của cuộc sống lao động, khi từng con cá được kéo lên, cả biển cả như đang sống động, vui tươi hơn bao giờ hết. Hình ảnh những ngư dân cần cù, giản dị nhưng đầy sức sống hòa vào không gian biển cả, tạo nên một bức tranh sống động và tràn đầy năng lượng.

Điều đặc biệt trong bài thơ là cách sử dụng hình ảnh và âm thanh, từ "lưới xếp chờ cá" đến "gió lộng, sóng bạc đầu", tất cả đều mang đến sự hòa quyện giữa thiên nhiên và con người, giữa không gian và thời gian, tạo nên một bức tranh thiên nhiên hùng vĩ nhưng cũng rất đỗi gần gũi và thân thuộc.

Bài thơ "Đoàn Thuyền Đánh Cá" không chỉ là một tác phẩm ca ngợi vẻ đẹp của thiên nhiên mà còn là một sự tri ân đối với con người lao động vất vả, luôn kiên trì, bền bỉ và hy vọng. Nó giúp người đọc thêm yêu quý và trân trọng hơn những giá trị giản dị, thân quen trong cuộc sống, từ đó làm dấy lên trong lòng mỗi người một niềm tự hào và cảm hứng sống mạnh mẽ.

Olm chào em, em làm đúng rồi đó. Cảm ơn em đã lựa chọn gói vip và đồng hành cùng Olm. Chúc em học tập hiệu quả và vui vẻ cùng Olm, em nhé.