Xét ΔABK có \(\widehat{BKC}\) là góc ngoài tại đỉnh K

nên \(\widehat{BKC}=\widehat{KAB}+\widehat{KBA}=90^0+\widehat{KBA}>90^0\)

Xét ΔBKC có \(\widehat{BKC}>90^0\)

nên BC là cạnh lớn nhất trong ΔBKC

=>BC>BK

Xét ΔABD có \(\hat{ADC}\) là góc ngoài tại đỉnh D

nên \(\hat{ADC}=\hat{DAB}+\hat{DBA}>90^0\)

Xét ΔABD có \(\hat{ABD}>90^0\)

nên AD là cạnh lớn nhất trong ΔABD

=>AB<AD(1)

Xét ΔADC có \(\hat{ADC}>90^0\)

nên AC là cạnh lớn nhất trong ΔADC

=>AD<AC(2)

từ (1),(2) suy ra AB<AD<AC

Ta đặt hệ tọa độ để tính nhanh.

Chọn:

A(0, 0)

C(4, 0) ⇒ AC = 4

Vì AE = 1/4 AC ⇒ E(1, 0)

Gọi B(x, y) với y ≠ 0.

Vì BE ⟂ AC (AC nằm ngang) ⇒ BE là đường thẳng đứng x = 1.

Suy ra B có hoành độ 1 ⇒ B(1, y).

Trên BC có D sao cho BD = 1/3 BC.

Vì D nằm trên BC và BD = 1/3 BC nên

D = B + 1/3 (C − B).

Tính:

C − B = (4 − 1, 0 − y) = (3, −y)

⇒ D = (1, y) + (1, −y/3) = (2, 2y/3)

Giao điểm F của AD và BE.

BE: x = 1

Phương trình AD:

A(0,0) → D(2, 2y/3)

Tham số: (2t, 2yt/3)

Giao với x = 1:

2t = 1 ⇒ t = 1/2

⇒ F(1, y/3)

Tính diện tích

Diện tích tam giác AEF

A(0,0), E(1,0), F(1, y/3)

S_AEF = 1/2 × AE × EF

= 1/2 × 1 × y/3

= y/6

Diện tích tam giác BDF

B(1,y), D(2,2y/3), F(1,y/3)

S_BDF = 1/2 × BD × khoảng cách F đến BD

Tính bằng tọa độ:

S_BDF = |det(DB, FB)| / 2

DB = (2−1, 2y/3 − y) = (1, −y/3)

FB = (1−1, y/3 − y) = (0, −2y/3)

det = 1 × (−2y/3) − (−y/3) × 0

= −2y/3

⇒ S_BDF = (2y/3) / 2 = y/3

Tỉ số:

S_BDF / S_AEF = (y/3) / (y/6) = 2

Kết luận:

Diện tích tam giác BDF gấp 2 lần diện tích tam giác AEF.

Đây là toán nâng cao chuyên đề số nguyên, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp phản chứng như sau:

Giải:

Vì tích của 34 số nguyên là 1 nên 34 số nguyên đó chỉ có thể gồm các số là 1, - 1.

Giả sử tổng của 34 số nguyên bằng 0. Khi đó, 34 số nguyên đó phải gồm các số là 1 và -1. Đồng thời số số nguyên là 1 bằng số số nguyên là -1.

Từ các lập luận trên ta có:

Trong 34 số nguyên cho trước số số nguyên bằng -1 là:

34 : 2 = 17

Khi đó, 34 số nguyên đã cho sẽ có 17 số là số nguyên âm. Mà tích của 17 số nguyên âm là một số âm, dẫn đến tích của 34 số nguyên đó là số âm. Vô lý vì tích của 34 số nguyên cho trước là 1. Vậy điều giả sử là sai.

Kết luận: tích của 34 số nguyên cho trước là 1 thì tổng của chúng không thể bằng 0 (điều phải chứng minh)

Bạn xem lại đề nhé, vì nếu lấy 17 số 1 và 17 số -1 thì \(1\cdot\left(-1\right)\cdot1\cdot\left(-1\right)\cdot\ldots\cdot1\cdot\left(-1\right)=1\) mà \(1+\left(-1\right)+1+\left(-1\right)+\cdots+1+\left(-1\right)=0\)

x<142,035<y

mà x và y là hai số lẻ liên tiếp

nên x=141; y=143

x+y=141+143=284

Trong 1 giờ, vòi 1 chảy được: \(\dfrac{1}{6}\left(bể\right)\)

Trong 1 giờ, vòi 2 chảy được: \(\dfrac{1}{8}\left(bể\right)\)

Trong 1 giờ, hai vòi chảy được: \(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{24}+\dfrac{4}{24}=\dfrac{7}{24}\left(bể\right)\)

Số phần bể chưa có nước là:

\(1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\left(bể\right)\)

Thời gian hai vòi chảy đầy bể là:

\(\dfrac{3}{4}:\dfrac{7}{24}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{24}{7}=\dfrac{72}{28}=\dfrac{18}{7}\left(giờ\right)\)

a: \(A=1\dfrac{1}{2}\cdot1\dfrac{1}{3}\cdot...\cdot1\dfrac{1}{15}\)

\(=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot...\cdot\dfrac{16}{15}\)

\(=\dfrac{16}{2}=8\)

b: \(B=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\cdot...\cdot\left(1-\dfrac{1}{1000}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot...\cdot\dfrac{999}{1000}\)

\(=\dfrac{1}{1000}\)

c: \(C=\dfrac{1}{3}:\left(-\dfrac{4}{3}\right):\dfrac{5}{4}:\left(-\dfrac{6}{5}\right):\dfrac{7}{6}:\left(-\dfrac{8}{7}\right):...:\dfrac{99}{98}:\left(-\dfrac{100}{99}\right)\)

\(=-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{5}\cdot...\cdot\dfrac{98}{99}\cdot\dfrac{99}{100}\)

\(=-\dfrac{1}{100}\)

d: \(\dfrac{\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{27}-\dfrac{2}{9}-\dfrac{2}{11}}{\dfrac{3}{5}+\dfrac{3}{27}-\dfrac{3}{9}-\dfrac{3}{11}}=\dfrac{2\left(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{27}-\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{11}\right)}{3\left(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{27}-\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{11}\right)}=\dfrac{2}{3}\)

e: \(D=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2022}\cdot\dfrac{1}{2023}\)

\(=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2022}-\dfrac{1}{2023}\)

\(=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2023}=\dfrac{2021}{4046}\)

a: ΔABC vuông tại A

=>\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

=>\(\widehat{ACB}=90^0-60^0=30^0\)

b: Xét ΔBAH và ΔBKH có

BA=BK

HA=HK

BH chung

Do đó: ΔBAH=ΔBKH

c: ΔBAH=ΔBKH

=>\(\widehat{BHA}=\widehat{BHK}\)

mà \(\widehat{BHA}+\widehat{BHK}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{BHA}=\widehat{BHK}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

=>BI\(\perp\)AK tại H

a-2ab+2b=0

=>\(a-2b\left(a-1\right)=0\)

=>\(a-1-2b\left(a-1\right)=-1\)

=>\(\left(a-1\right)\left(1-2b\right)=-1\)

=>(a-1)(2b-1)=1

=>\(\left(a-1;2b-1\right)\in\left\{\left(1;1\right);\left(-1;-1\right)\right\}\)

=>\(\left(a;b\right)\in\left\{\left(2;1\right);\left(0;0\right)\right\}\)

Cô nghĩ bất cứ ai cũng đều thích học, em nhé, chỉ khác nhau là ở chỗ thích học cái gì và phương pháp học khác nhau thôi. Tất cả mọi thứ trong cuộc sống này để có thể đạt hiệu quả tốt nhất thì không thể không học, học trên trường lớp chỉ là kiến thức cứng, còn học ngoài đời vừa là kiến thức vừa là kỹ năng mềm em ạ.

cô Hoài nói đúng đó, dù bất kì hoàn cảnh nào đi chăng nữa cũng chỉ có học tập mới có thể thay đổi số phận của chúng ta thôi