Vì \(\dfrac{1}{3}\ne\dfrac{2}{2}\)

nên hệ luôn có nghiệm duy nhất

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=7\\3x+2y=2m+1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3x+2y-x-2y=2m+1-7\\x+2y=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=2m-6\\2y=7-x\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m-3\\2y=7-m+3=-m+10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m-3\\y=-0,5m+5\end{matrix}\right.\)

x+2=y

=>-0,5m+5=m-3+2=m-1

=>-1,5m=-6

=>m=4

a: \(\dfrac{3x+5}{2}-x>=1+\dfrac{x+2}{3}\)

=>\(\dfrac{3x+5-2x}{2}>=\dfrac{3+x+2}{3}\)

=>\(\dfrac{x+5}{2}-\dfrac{x+5}{3}>=0\)

=>\(\dfrac{3\left(x+5\right)-2\left(x+5\right)}{6}>=0\)

=>\(\dfrac{x+5}{6}>=0\)

=>x+5>=0

=>x>=-5

b: \(\dfrac{x-2}{3}-x-2< =\dfrac{x-17}{2}\)

=>\(\dfrac{2\left(x-2\right)}{6}+\dfrac{6\left(-x-2\right)}{6}< =\dfrac{3\left(x-17\right)}{6}\)

=>\(2\left(x-2\right)+6\left(-x-2\right)< =3\left(x-17\right)\)

=>\(2x-4-6x-12< =3x-51\)

=>-4x-16<=3x-51

=>-7x<=-35

=>x>=5

c: \(\dfrac{2x+1}{3}-\dfrac{x-4}{4}< =\dfrac{3x+1}{6}-\dfrac{x-4}{12}\)

=>\(\dfrac{4\left(2x+1\right)-3\left(x-4\right)}{12}< =\dfrac{2\left(3x+1\right)-x+4}{12}\)

=>4(2x+1)-3(x-4)<=2(3x+1)-x+4

=>8x+4-3x+12<=6x+2-x+4

=>5x+16<=5x+6

=>16<=6(sai)

Vậy: BPT vô nghiệm

a: \(\dfrac{3\left(2x+1\right)}{20}+1>\dfrac{3x+52}{10}\)

=>\(\dfrac{6x+3}{20}+\dfrac{20}{20}>\dfrac{6x+104}{20}\)

=>6x+23>6x+104

=>23>104(sai)

vậy: \(x\in\varnothing\)

b: \(\dfrac{4x-1}{2}+\dfrac{6x-19}{6}< =\dfrac{9x-11}{3}\)

=>\(\dfrac{3\left(4x-1\right)+6x-19}{6}< =\dfrac{2\left(9x-11\right)}{6}\)

=>12x-3+6x-19<=18x-22

=>-22<=-22(luôn đúng)

Vậy: \(x\in R\)

0

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=12^2-5^2=144-25=119\)

=>\(AC=\sqrt{119}\left(cm\right)\)

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{5^2}{12}=\dfrac{25}{12}\left(cm\right)\\CH=\dfrac{119}{12}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=\dfrac{25}{12}\cdot\dfrac{119}{12}=\dfrac{25}{144}\cdot119\)

=>\(AH=\sqrt{119}\cdot\sqrt{\dfrac{25}{144}}=\dfrac{5}{12}\cdot\sqrt{119}\left(cm\right)\)

2n+1 là số chính phương

mà 2n+1 lẻ

nên \(2n+1=\left(2k+1\right)^2=4k^2+4k+1=4k\left(k+1\right)+1\)

Vì k;k+1 là hai số tự nhiên liên tiếp

nên k(k+1)⋮2

=>4k(k+1)⋮8

=>4k(k+1)+1 chia 8 dư 1

=>2n+1 chia 8 dư 1

=>2n⋮8

=>n⋮4

=>n+1 là số lẻ

mà n+1 là số chính phương

nên \(n+1=\left(2a+1\right)^2=4a^2+4a+1=4a\left(a+1\right)+1\)

Vì a;a+1 là hai số tự nhiên liên tiếp

nên a(a+1)⋮2

=>4a(a+1)⋮8

=>4a(a+1)+1 chia 8 dư 1

=>n+1 chia 8 dư 1

=>n⋮8

Vì 2n+1+n+1=3n+2 chia 3 dư 2

mà 2n+1 là số chính phương

nên 2n+1 chia 3 dư 1

=>n+1 chia 3 dư 1

=>n⋮3

mà n⋮8

mà ƯCLN(3;8)=1

nên n⋮ 3*8

=>n⋮24

93

Gọi số cần tìm có dạng là \(\overline{ab}\)

Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 6 đơn vị nên a-b=6

Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì tổng của số mới và số cũ là 132 nên \(\overline{ab}+\overline{ba}=132\)

=>10a+b+10b+a=132

=>11a+11b=132

=>a+b=12

mà a-b=6

nên \(a=\dfrac{12+6}{2}=9;b=12-9=3\)

Vậy: Số cần tìm là 93

4.

a. 

Áp dụng đẳng thức: \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+cos^2\alpha=1\)

\(\Rightarrow cos^2\alpha=1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{8}{9}\)

\(\Rightarrow cos\alpha=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\) (do \(\alpha\) nhọn nên \(cos\alpha>0\))

\(tan\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\dfrac{1}{3}:\dfrac{2\sqrt{2}}{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)

b.

\(P=sin^21^0+sin^289^0+sin^22^0+sin^288^0+...+sin^244^0+sin^246^0+sin^245^0+sin^290^0\)

\(=sin^21^0+sin^2\left(90^0-1^0\right)+sin^22^0+sin^2\left(90^0-2^0\right)+...+sin^244^0+sin^2\left(90^0-44^0\right)+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+1^2\)

\(=sin^21^0+cos^21^0+sin^22^0+cos^22^0+...+sin^244^0+cos^244^0+\dfrac{3}{2}\)

\(=1+1+...+1+\dfrac{3}{2}\) (có 44 số 1)

\(=44+\dfrac{3}{2}=\dfrac{91}{2}\)

c.

\(\dfrac{1-tan\alpha}{1+tan\alpha}=\dfrac{1-\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}}{1+\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}}=\dfrac{\dfrac{cos\alpha-sin\alpha}{cos\alpha}}{\dfrac{cos\alpha+sin\alpha}{cos\alpha}}=\dfrac{cos\alpha-sin\alpha}{cos\alpha+sin\alpha}\)

ĐKXĐ: \(x\ge-\dfrac{1}{4}\)

- Với \(-\dfrac{1}{4}\le x\le0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^4< \dfrac{1}{4^4}< 1\\\sqrt[4]{4x+1}\ge0\Rightarrow4\sqrt[4]{4x+1}+1\ge1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^4< 4\sqrt[4]{4x+1}+1\) nên pt vô nghiệm

- Với \(x>0\):

Đặt \(\sqrt[4]{4x+1}=a>0\Rightarrow4x+1=a^4\) 

Ta được hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^4=4a+1\\a^4=4x+1\end{matrix}\right.\)

Trừ vế cho vế:

\(\Rightarrow x^4-a^4=4\left(a-x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x+a\right)\left(x^2+a^2\right)+4\left(x-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left[\left(x+a\right)\left(x^2+a^2\right)+4\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x=a\) (do \(\left(x+a\right)\left(x^2+a^2\right)+4>0\) với \(a;x>0\))

\(\Leftrightarrow x=\sqrt[4]{4x+1}\)

\(\Leftrightarrow x^4=4x+1\)

\(\Leftrightarrow x^4-4x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4+2x^2+1\right)-\left(2x^2+4x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)^2-2\left(x+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+1=\sqrt{2}\left(x+1\right)\) (do \(x>0\) nên chỉ có TH này xảy ra khi khai căn)

\(\Leftrightarrow x^2-\sqrt{2}x+1-\sqrt{2}=0\)

Pt bậc 2 bình thường, em có thể tính delta và giải theo công thức nghiệm

Gọi số lớn là x, số nhỏ là y 

Do hiệu 2 số là 272 nên ta có pt:

\(x-y=272\) (1)

Do số lớn chia số nhỏ được 4 dư 56 nên:

\(x=4y+56\Leftrightarrow x-4y=56\) (2)

Từ (1) và (2) ta được hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=272\\x-4y=56\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=344\\y=72\end{matrix}\right.\)

Đặt \(x\) là số nhỏ

\(\Rightarrow\) Số lớn \(=4x+56\)

Khi đó, ta có: \(4x+56-x=272\) và ta tìm được \(x=72\)

Nên số lớn là \(344\)

Vậy hai số đó là \(72\) và \(344\)