\(\sqrt{\dfrac{2\left(4-\sqrt{7}\right)}{2}}-\sqrt{\dfrac{2\left(4+\sqrt{7}\right)}{2}}+\sqrt{2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{8-2\sqrt{7}}}{\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{8+2\sqrt{7}}}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{7}-1-\sqrt{7}-1}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}=-\dfrac{2}{\sqrt{2}}+\dfrac{2}{\sqrt{2}}=0\)

\(\sqrt{\dfrac{8-2\sqrt{7}}{2}}-\sqrt{\dfrac{8+2\sqrt{7}}{2}}+\sqrt{2}\)

\(=\sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{7}-1\right)^2}{2}}-\sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{7}+1\right)^2}{2}}+\sqrt{2}\)

\(=\dfrac{\left|\sqrt{7}-1\right|}{\sqrt{2}}-\dfrac{\left|\sqrt{7}+1\right|}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}\)

\(=\dfrac{-2}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}=0\)

`sqrt{2} = 1,414213...`

`sqrt{2} = 2/sqrt{2} `

\(\sqrt{2}=1,41421356...\)

\(M=-x^2+6x-11\\ =-\left(x^2-6x+9\right)+9-11\\ =-\left(x-3\right)^2-2\)

Ta thấy: \(\left(x-3\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow-\left(x-3\right)^2\le0\forall x\\ \Rightarrow-\left(x-3\right)^2-2\le-2\forall x\\ \Rightarrow M\le-2\forall x\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x-3=0\Leftrightarrow x=3\)

Vậy \(M_{max}=-2\Leftrightarrow x=3\).

`M = -x^2 + 6x - 11`

`= -(x^2 - 6x + 11) `

`= -(x^2 - 2.3x + 3^2 + 2)`

`= -(x^2 - 2.3x + 3^2) - 2`

`= -(x-3)^2 - 2`

Do `(x-3)^2 ≥ 0`     `∀x` thuộc `R`

`=> -(x-3)^2 ≤ 0`    `∀x` thuộc `R`

`=> -(x-3)^2 - 2 ≤ -2`     ` ∀x` thuộc `R`

Hay `M ≤ -2` `∀x` thuộc `R`

Dấu `=` có khi: 

`(x-3)^2 = 0`

`<=> x - 3 = 0`

`<=> x = 3`

Vậy `M_(max) = -2 <=> x = 3`

\(-7x\left(x+2\right)\left(x-3\right)+5x\left(-2x^2+x-4\right)+3x\left(x^2-5x-7\right)-\left(x^2-5x\right)\)

\(=-7x\left(x^2-x-6\right)-10x^3+5x^2-20x+3x\left(x^2-5x-7\right)-\left(x^2-5x\right)\)

\(=-7x^3+7x^2+42x-10x^3+5x^2-20x+3x\left(x^2-5x-7\right)-x^2+5x\)

\(=-17x^3+11x^2+27x+3x^3-15x^2-21x\)

\(=-14x^3-4x^2+6x\)

Gọi số dãy ghế định xếp ban đầu là x (dãy) với \(x>3;x\in N\)

Số ghế mỗi dãy ban đầu là: \(\dfrac{500}{x}\) ghế

Số dãy ghế sau khi bớt đi 3 là: \(x-3\) dãy

Số ghế mỗi dãy sau khi tăng 3 ghế là: \(\dfrac{500}{x}+3\) ghế

Số ghế trong hội trường khi đó là: \(\left(x-3\right)\left(\dfrac{500}{x}+3\right)\) ghế

Do phải bổ sung thêm 6 ghế nên ta có pt:

\(\left(x-3\right)\left(\dfrac{500}{x}+3\right)=500+6\)

\(\Rightarrow\left(x-3\right)\left(500+3x\right)=506x\)

\(\Rightarrow3x^2-15x-1500=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=25\\x=-20\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy ban đầu người ta định xếp 25 dãy ghế

Nửa chu vi khu đất là 100:2=50(m)

Gọi chiều dài khu đất là x(m)

(Điều kiện: \(x>\dfrac{50}{2}=25\))

Chiều rộng khu đất là 50-x(m)

Chiều dài khu đất sau khi giảm đi 20m là x-20(m)

Chiều rộng khu đất sau khi giảm đi 20m là 50-x-20=30-x(m)

DIện tích khu đất ban đầu là x(50-x)(m²)

Diện tích khu đất giảm đi là:

x(50-x)-(x-20)(30-x)

\(=50x-x^2-30x+x^2-600+20x=40x-600\left(m^2\right)\)

\(2x^2+4x+3\)

\(=2\left(x^2+2x+\dfrac{3}{2}\right)\)

\(=2\left(x^2+2x+1+\dfrac{1}{2}\right)\)

\(=2\left(x+1\right)^2+1>=1>0\forall x\)

Ta có:

\(2x^2+4x+3\\ =\left(2x^2+4x+2\right)+1\\ =2\left(x^2+2x+1\right)+1\\ =2\left(x+1\right)^2+1\ge1>0\)

=> Bt luôn dương 

\(A=\left(3x+1\right)^3-\left(y-2\right)^2+\left(y-1\right)^3+\left(x+y\right)^2\)

Thay x=-1/3;y=3 vào A, ta được:

\(A=\left[3\cdot\dfrac{-1}{3}+1\right]^3-\left(3-2\right)^2+\left(3-1\right)^3+\left(-\dfrac{1}{3}+3\right)^2\)

\(=-1^2+2^3+\left(\dfrac{8}{3}\right)^2\)

\(=\dfrac{64}{9}+7=\dfrac{127}{9}\)

\(A=\left(3x+1\right).3-\left(y-2\right).2+\left(y-1\right).3+\left(x+y\right).2\\ \Leftrightarrow A=3.\left(3x+1+y-1\right)+2.\left(x+y-y+2\right)\\ \Leftrightarrow A=3.\left(3x+y\right)+2.\left(x+2\right)\)
Thay \(x=-\dfrac{1}{3};y=-3\) được:
\(A=3.\left[3.\left(-\dfrac{1}{3}\right)+\left(-3\right)\right]+2.\left[\left(-\dfrac{1}{3}\right)+2\right]\\ \Leftrightarrow A=3.\left(-1-3\right)+2.\dfrac{5}{3}\\ \Leftrightarrow A=3.\left(-4\right)+2.\dfrac{5}{3}\\ \Leftrightarrow A=-12+\dfrac{10}{3}\\ \Leftrightarrow A=-\dfrac{26}{3}\)
Vậy \(A=-\dfrac{26}{3}\) tại \(x=-\dfrac{1}{3};y=-3\)

bài 1:

\(C\left(x\right)=9x^2-6x-4\left|3x-1\right|+6\)

\(=9x^2-6x+1-4\left|3x-1\right|+5\)

\(=\left(\left|3x-1\right|\right)^2-4\left|3x-1\right|+4+1\)

\(=\left(\left|3x-1\right|-2\right)^2+1>=1\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi |3x-1|=2

=>\(\left[{}\begin{matrix}3x-1=2\\3x-1=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Bài 2:

\(A\left(x\right)=\left(2x+1\right)^2+\left(3x-2\right)^2+x-11\)

\(=4x^2+4x+1+9x^2-12x+4+x-11\)

\(=13x^2-7x-6\)

\(=13\left(x^2-\dfrac{7}{13}x-\dfrac{6}{13}\right)\)

\(=13\left(x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{7}{26}+\dfrac{49}{676}-\dfrac{361}{676}\right)\)

\(=13\left(x-\dfrac{7}{26}\right)^2-\dfrac{361}{52}>=-\dfrac{361}{52}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x-\dfrac{7}{26}=0\)

=>\(x=\dfrac{7}{26}\)

=1

Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

=>\(\widehat{ADE}=\widehat{AHE}\)

mà \(\widehat{AHE}=\widehat{C}\left(=90^0-\widehat{HAC}\right)\)

nên \(\widehat{ADE}=\widehat{C}\)

Xét tứ giác ` AEHD` có: 

\(\widehat{DAE}=\widehat{AEH}=\widehat{HDA}=90^o\)

=> Tứ giách `AEHD` là hình chữ nhật

=> `AH = DE`

Gọi `O` là giao điểm của` AH` và `DE`

=> `O` là trung điểm của `AH` và `DE`

=> \(\left\{{}\begin{matrix}OA=\dfrac{1}{2}AH\\OD=\dfrac{1}{2}DE\end{matrix}\right.\)
Mà `AH = DE` (Chứng minh trên)

=> `OA = OD`

Xét `ΔOAD` có: `OA = OD`

=> `ΔOAD` cân tại `O`

=> \(\widehat{ODA}=\widehat{OAD}\)

Ta có: \(\widehat{C}=\widehat{DAO}\) (cùng phụ với \(\widehat{HAC}\))

=> \(\widehat{C}=\widehat{ADO}\)

Hay \(\widehat{C}=\widehat{ADE}\) `(ĐPCM)`