a: Xét ΔSAB có M,N lần lượt là trung điểm của SA,SB

=>MN là đường trung bình của ΔSAB

=>MN//AB

mà AB//CD
nên MN//CD

b: Trong mp(ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD

Trong mp(SBD), gọi K là giao điểm của DN và SO

Chọn mp(SAC) có chứa SC

\(K=DN\cap SO\)

=>\(K\in\left(DAN\right)\cap\left(SAC\right)\)

=>\(\left(DAN\right)\cap\left(SAC\right)=AK\)

Gọi P là giao điểm của AK với SC

=>P là giao điểm của SC với (DAN)

S A B C D M N P Q K

a/

Ta có

\(\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{AN}{AD}\left(gt\right)\) => AM//MN//CD (Talet đảo) => MN//(SAB)

\(\dfrac{AN}{AD}=\dfrac{SP}{SD}\left(gt\right)\) => PN//SA (Talet đảo) => PN//(SAB)

=> (MNP)//(SAB) (Một mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau và cùng // với 1 mặt phẳng cho trước thì 2 mặt phẳng đó // với nhau)

Trong mp (SCD) từ P dựng đường thẳng // CD cắt SC tại Q

=> PQ//MN (cùng song song với CD

Mà \(P\in\left(MNP\right)\Rightarrow PQ\in\left(MNP\right)\Rightarrow Q\in\left(MNP\right)\)

đồng thời \(Q\in SC\)

=> Q là giao của SC với (MNP)

b/

Thiết diện của S.ABCD với (MNP) là tứ giác MNPQ

c/

Ta có

\(NP\left(SAD\right);K\in NP\Rightarrow K\in\left(SAD\right)\)

\(MQ\in\left(SBC\right);K\in MQ\Rightarrow K\in\left(SBC\right)\)

\(S\in\left(SAD\right);S\in\left(SBC\right)\)

=> SK là giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC)

Ta có AD//BC (cạnh đối hình vuông)=> AD//(SBC) và \(AD\in\left(SAD\right)\)

=> AD//SK(Một mp chứa 1 đường thẳng // với 1 mặt phẳng cho trước và 2 mặt phẳng cắt nhau thì đường thẳng đó // với giao tuyến)

Vậy khi M di động trên BC thì K thuộc nửa đường thẳng SK//AD

d/

ta có

SB là giao tuyến của (SAB) với (SBC)

MQ là giao tuyến của (MNP) với (SBC)

(MNP)//(SAB) (cmt)

=> SB//MQ (Hai mp song song với nhau bị cắt bởi mp thứ 3 thì 2 giao tuyến tạo thành song song với nhau)

a: Ta có: MQ//CD

CD//AB

Do đó: MQ//AB

mà MQ⊂(MNPQ)

nên AB//(MNPQ)

Ta có: MN//SB

=>SB//(MNPQ)

Ta có: AB//(MNPQ)

SB//(MNPQ)

AB cắt SB tại B

AB,SB cùng thuộc mp(SAB)

Do đó: (SAB)//(MNPQ)

mà (MNPQ) cắt (SAD)=PQ

và (SAB) cắt (SAD)=SA

nên PQ//SA

Câu 2;

Chọn mp(SAQ) có chứa PQ

Trong mp(ABC), gọi I là giao điểm của SQ và MN

I∈SQ⊂(SAQ)

I∈MN⊂(AMN)

Do đó: I∈(SAQ) giao (AMN)(1)

A∈(SAQ)

A∈(AMN)

Do đó: A∈(SAQ) giao (AMN)(2)

từ (1),(2) suy ra (SAQ) giao (AMN)=AI

Gọi G là giao điểm của PQ và AI

=>G là giao điểm của PQ và mp(AMN)

Xét ΔBSC có

M,Q lần lượt là trung điểm của BS,BC

=>MQ là đường trung bình của ΔBSC

=>MQ//SC và \(MQ=\frac{SC}{2}\)

\(MQ=\frac{SC}{2}\)

\(SN=\frac{SC}{2}\)

Do đó: MQ=SN

Xét tứ giác SMQN có

SN//QM

SN=QM

Do đó: SMQN là hình bình hành

=>SQ cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm chung của SQ và MN

Xét ΔSAQ có

AI,QP là các đường trung tuyến

AI cắt QP tại G

Do đó:G là trọng tâm của ΔSAQ

=>\(\frac{GP}{GQ}=\frac12\)

Câu 1: Trong mp(SCD), gọi K là giao điểm của SN và CD

Chọn mp(SMK) có chứa MN

Trong mp(ABCD), gọi I là giao điểm của MK và AC

I∈MK⊂(SMK)

I∈AC⊂(SAC)

Do đó: I∈(SMK) giao (SAC)(1)

ta có: S∈(SMK)

S∈(SAC)

Do đó; S∈(SMK) giao (SAC)(2)

Từ (1),(2) suy ra (SMK) giao (SAC)=SI

Gọi X là giao điểm của SI và MN

=>X là giao điểm của MN và mp(SAC)

b: Chọn mp(SAC) có chứa SC

\(I\in SA\subset\left(SAC\right);I\in\left(BIK\right)\)

Do đó: \(I\in\left(SAC\right)\cap\left(BIK\right)\)

Trong mp(ABCD), gọi H là giao điểm của AC và BK

=>\(H\in\left(SAC\right)\cap\left(BIK\right)\)

=>\(\left(SAC\right)\cap\left(BIK\right)=HI\)

Gọi M là giao điểm của HI với SC

=>M là giao điểm của SC với mp(BIK)

\(1+tan^2\alpha=\dfrac{1}{cos^2\alpha}\Rightarrow1+2^2=\dfrac{1}{cos^2\alpha}\\ \Rightarrow5=\dfrac{1}{cos^2\alpha}\Rightarrow cos^2\alpha=\dfrac{1}{5}\)

tôi quá mong manh

yeah