x>10,35

mà x là số tự nhiên bé nhất

nên x=11

x= 11 

x<17,2<y

mà x,y là các số tự nhiên chẵn

nên (x,y)\(\in\left\{0;18\right\}\)

`17,2 > x `

`=> x` là `0;2;4;...;14` hoặc `16`

`17,2 < y`

`=> y` là `18;20;22`;.... (vô hạn) 

Xét ΔAHC vuông tại H có \(tanC=\dfrac{AH}{HC}\)

=>\(\dfrac{8}{HC}=tan45=1\)

=>HC=8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(HB\cdot8=8^2\)

=>HB=8(cm)

BC=BH+CH=8+8=16(cm)

ΔAHC vuông tại H

=>\(HA^2+HC^2=AC^2\)

=>\(AC=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}\left(cm\right)\)

ΔAHB vuông tại H

=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AB=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}\left(cm\right)\)

Nửa chu vi sân trường là 142:2=71(m)

Chiều dài sân trường là (71+13):2=84:2=42(m)

Chiều rộng sân trường là 42-13=29(m)

Diện tích sân trường là:

42x29=1218(m²)

Kẻ AH,BK,CE là các đường cao của ΔABC

Xét ΔAKB vuông tại K có \(\sin KAB=\frac{BK}{BA}\)

=>\(BK=BA\cdot\sin BAC\)

Xét ΔBKC vuông tại K có \(\sin BCK=\frac{BK}{BC}\)

=>\(BK=BC\cdot\sin BCA\)

=>\(BA\cdot\sin BAC=BC\cdot\sin BCA\)

=>\(\frac{BA}{\sin BCA}=\frac{BC}{\sin BAC}\)

=>\(\frac{a}{\sin BAC}=\frac{c}{\sin BCA}\) (1)

Xét ΔAHB vuông tại H có \(\sin ABH=\frac{AH}{AB}\)

=>\(AH=AB\cdot\sin ABC\)

Xét ΔAHC vuông tại H có \(\sin ACH=\frac{AH}{AC}\)

=>\(AH=AC\cdot\sin ACB\)

=>\(AB\cdot\sin ABC=AC\cdot\sin ACB\)

=>\(c\cdot\sin ABC=b\cdot\sin ACB\)

=>\(\frac{c}{\sin ACB}=\frac{b}{\sin ABC}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{a}{\sin BAC}=\frac{b}{\sin ABC}=\frac{c}{\sin ACB}\)

Sửa đề: \(\tan B:\cot C=3\)

Ta có: \(\frac{HD}{HA}=\frac12\)

=>HA=2HD

ta có; AD=AH+HD

=>AD=2HD+HD=3HD

=>\(\frac{DH}{DA}=\frac13\)

Xét ΔADB vuông tại D có \(\tan B=\frac{AD}{DB}\)

Xét ΔBHD vuông tại D có \(\cot BHD=\frac{HD}{DB}\)

mà \(\hat{BHD}=\hat{C}\left(=90^0-\hat{EBC}\right)\)

nên \(\cot C=\frac{HD}{DB}\)

\(\tan B:\cot C=\frac{AD}{DB}:\frac{HD}{DB}=\frac{AD}{HD}=3\)

a: Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB=MC

Xét ΔMAC có \(\widehat{AMB}\) là góc ngoài tại M

nên \(\widehat{AMB}=\widehat{MAC}+\widehat{MCA}=2\cdot\widehat{ACB}=2\alpha\)

=>\(sin2\alpha=sinAMB=\dfrac{AH}{AM}=AH:\dfrac{BC}{2}=\dfrac{2AH}{BC}\)

Xét ΔAHC vuông tại H có \(sinC=\dfrac{AH}{AC}\)

Xét ΔABC vuông tại A có \(cosC=\dfrac{AC}{BC}\)

\(2sin\alpha\cdot cos\alpha=2\cdot\dfrac{AH}{AC}\cdot\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{2\cdot AH}{BC}\)

Do đó: \(sin2\alpha=2\cdot sin\alpha\cdot cos\alpha\)

b: \(cos2\alpha=cosAMH=\dfrac{HM}{AM}\)

=>\(1+cos2\alpha=1+\dfrac{HM}{AM}=\dfrac{HC}{AM}=\dfrac{2\cdot HC}{BC}=2\cdot\dfrac{AC^2}{BC^2}\)

\(2\cdot cos^2\alpha=2\cdot cos^2C=2\cdot\left(\dfrac{CA}{BC}\right)^2=2\cdot\dfrac{CA^2}{CB^2}\)

Do đó: \(1+cos2\alpha=2\cdot cos^2\alpha\)

c: \(1-cos2\alpha=1-cosAMH=1-\dfrac{HM}{AM}=\dfrac{HB}{AM}=\dfrac{2HB}{BC}=2\cdot\dfrac{AB^2}{BC^2}\)

\(2\cdot sin^2\alpha=2\cdot sin^2ACB=2\cdot\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2\)

Do đó: \(1-cos2a=2\cdot sin^2\alpha\)

ABCD là hình chữ nhật 

=> CD = AB = 4 (cm) 

=> AD = BC = 3 (cm) 

=> BD = AC = 5 (cm)