$x^2-8xy+16y^2$

$=x^2-2.x.4y+(4y)^2$

$=(x-4y)^2$

$=5^2=25$

$(2x+3y)^2+(2x-3y)^2-2(4x^2-9y^2)$

$=(2x-3y)^2-2(2x-3y)(2x+3y)+(2x+3y)^2$

$=[(2x-3y)-(2x+3y)]^2$

$=(2x-3y-2x-3y)^2$

$=(-6y)^2=36y^2$

a) \(x^2+y^2-4y+3=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(y-2\right)^2=1\)

Xét 2TH:

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y-2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=3\end{matrix}\right.\)

Vậy có các cặp số nguyên \(\left(1;2\right),\left(3;0\right)\) thỏa mãn đề bài.

b) \(x^2+4y^2-2x+12y+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(2y+3\right)^2=9\)

Ta thấy \(2x+3\) là số lẻ nên ta chỉ có 1 TH duy nhất là 

\(\left\{{}\begin{matrix}2y+3=9\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3\\x=1\end{matrix}\right.\)

Vậy cặp số nguyên \(\left(1;3\right)\) thỏa mãn ycbt.

a: \(x^2+y^2-4y+3=0\)

=>\(x^2-1+\left(y^2-4y+4\right)=0\)

=>\(\left(x-1\right)\left(x+1\right)+\left(y-2\right)^2=0\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\\\left(y-2\right)^2=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\in\left\{1;-1\right\}\\y=2\end{matrix}\right.\)

b: \(x^2+4y^2-2x+12y+1=0\)

=>\(x^2-2x+1+4y^2+12y=0\)

=>\(\left(x-1\right)^2+4y\left(y+3\right)=0\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2=0\\4y\left(y+3\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y\in\left\{0;-3\right\}\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{5}{2}x^2-\dfrac{7}{3}\\ =\dfrac{1}{3}x^3+x^2\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{2}\right)-\dfrac{7}{3}\\ =\dfrac{1}{3}x^3-2x^2-\dfrac{7}{3}\)

Bài 1:

a: \(P=\left(\frac{x-4}{x^3-1}+\frac{1}{x-1}\right):\left(1-\frac{x-8}{x^2+x+1}\right)\)

\(=\left(\frac{x-4}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{1}{x-1}\right):\frac{x^2+x+1-x+8}{x^2+x+1}\)

\(=\frac{x-4+x^2+x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}:\frac{x^2+9}{x^2+x+1}=\frac{x^2+2x-3}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\cdot\frac{x^2+x+1}{x^2+9}\)

\(=\frac{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+9\right)}=\frac{x+3}{x^2+9}\)

b: \(x^2-3x+2=0\)

=>(x-1)(x-2)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x=1\left(loại\right)\\ x=2\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

Khi x=2 thì \(P=\frac{2+3}{2^2+9}=\frac{5}{13}\)

c: Để P là số nguyên thì \(x+3\vdots x^2+9\)

=>\(\left(x+3\right)\left(x-3\right)\vdots x^2+9\)

=>\(x^2-9\vdots x^2+9\)

=>\(x^2+9-18\vdots x^2+9\)

=>\(-18\vdots x^2+9\)

=>\(x^2+9\in\left\lbrace9;18\right\rbrace\)

=>\(x^2\in\left\lbrace0;9\right\rbrace\)

=>x∈{0;3;-3}

Thử lại, ta thấy x=-3 thỏa mãn

vậy: x=-3

\(-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{7}{2}x^2+x\\ =x^2\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{2}\right)+x\\ =3x^2+x\)

Thì bạn cứ làm thôi, đề bà đó !!!

\(\dfrac{3}{5}\cdot x^2y^5\cdot x^3y^2\cdot\dfrac{-2}{3}\)

\(=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{-2}{3}\cdot x^2\cdot x^3\cdot y^5\cdot y^2\)

\(=-\dfrac{2}{5}x^5y^7\)

\(\dfrac{3}{5}x^2y^5x^3y^2\cdot\dfrac{-2}{3}\\ =\left(\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{-2}{3}\right)\cdot\left(x^2\cdot x^3\right)\cdot\left(y^5\cdot y^2\right)\\ =-\dfrac{2}{5}x^5y^7\)

Gọi H là giao điểm của CN với BM

Xét ΔHCB có

CM,BN là các đường cao

CM cắt BN tại A

Do đó: A là trực tâm của ΔHCB

=>HA\(\perp\)CB tại K

Xét ΔBKA vuông tại K và ΔBNC vuông tại N có

\(\widehat{CBN}\) chung

Do đó: ΔBKA~ΔBNC

=>\(\dfrac{BK}{BN}=\dfrac{BA}{BC}\)

=>\(BN\cdot BA=BK\cdot BC\)

Xét ΔCKA vuông tại K và ΔCMB vuông tại M có

\(\widehat{KCA}\) chung

Do đó: ΔCKA~ΔCMB

=>\(\dfrac{CK}{CM}=\dfrac{CA}{CB}\)

=>\(CM\cdot CA=CK\cdot CB\)

\(BA\cdot BN+CA\cdot CM\)

\(=BC\cdot BK+BC\cdot CK=BC\left(BK+CK\right)=BC^2\)

Toán có lời văn chính là toán có lời giải đó em nhé.