a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔABC~ΔHBA

b: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

ΔABC~ΔHBA

=>\(\dfrac{AB}{HB}=\dfrac{AC}{HA}=\dfrac{BC}{BA}\)

=>\(\dfrac{6}{HB}=\dfrac{8}{HA}=\dfrac{10}{6}\)

=>\(HB=6\cdot\dfrac{6}{10}=3,6\left(cm\right);HA=8\cdot\dfrac{6}{10}=4,8\left(cm\right)\)

c: Ta có: EH\(\perp\)AB

AC\(\perp\)AB

Do đó: EH//AC

Ta có: HF\(\perp\)AC

AB\(\perp\)AC

Do đó: HF//AB

Xét ΔCAB có HF//AB

nên \(\dfrac{CF}{CA}=\dfrac{CH}{CB}\)

=>\(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{BH}{BC}\)

Xét ΔABC có HE//AC

nên \(\dfrac{BE}{BA}=\dfrac{BH}{BC}\)

=>\(\dfrac{BE}{BA}=\dfrac{AF}{AC}\)

=>\(\dfrac{AF}{AC}=1-\dfrac{AE}{AB}\)

=>\(\dfrac{AE}{AB}+\dfrac{AF}{AC}=1\)

a: Xét ΔCDM vuông tại D và ΔCAB vuông tại A có

\(\widehat{DCM}\) chung

Do đó: ΔCDM~ΔCAB

b: Xét ΔDCM vuông tại D và ΔDEB vuông tại D có

\(\widehat{DCM}=\widehat{DEB}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)

Do đó: ΔDCM~ΔDEB

=>\(\dfrac{DC}{DE}=\dfrac{DM}{DB}\)

=>\(DC\cdot DB=DM\cdot DE\)

b) Do H và K đối xứng nhau qua I (gt)

⇒ I là trung điểm của HK

Mà I là trung điểm của BC (gt)

⇒ BHCK là hình bình hành

⇒ BH // CK và CH // BK

Mà BH ⊥ AC (gt)

⇒ CK ⊥ AC

⇒ ∠ACK = ∠AFH = 90⁰

Gọi O là trung điểm của AK

∆ACK vuông tại C

⇒ OA = OC = OK = AK : 2 (1)

∆ABK vuông tại B

⇒ OA = OB = OK = AK : 2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ OA = OB = OC = OK

⇒ ∠ABC = ∠ABO + ∠OBC

= 90⁰ - ∠AOB : 2 + 90⁰ - ∠BOC : 2

= 180⁰ - (∠AOB + ∠BOC) : 2

= [360⁰ - (∠AOB + ∠BOC)] : 2

= ∠AOC : 2

⇒ ∠ABC = (∠OCK + ∠OKC) : 2

= 2 ∠OKC : 2

= ∠OKC

= ∠AKC

⇒ ∠AKC = ∠ABD = 90⁰ - ∠BAD

= 90⁰ - ∠FAH

= ∠AHF

Xét ∆AKC và ∆AHF có:

∠ACK = ∠AFH = 90⁰ (cmt)

∠AKC = ∠AHF (cmt)

⇒ ∆AKC ∽ ∆AHF (g-g)

b) Ta có:

∠BEI + ∠EBC = 90⁰

∠ECI + ∠EBC = 90⁰

⇒ ∠BEI = ∠ECI

Xét hai tam giác vuông: ∆BEI và ∆ECI có:

∠BEI = ∠ECI (cmt)

⇒ ∆BEI ∽ ∆ECI (g-g)

⇒ IE/IC = IB/IE

⇒ IE² = IB.IC

7c)

Xét hai tam giác vuông: ∆AND và ∆ADC có:

∠A chung

⇒ ∆AND ∽ ∆ADC (g-g)

⇒ AD/AC = AN/AD

⇒ AD² = AN.AC

Xét hai tam giác vuông: ∆ADM và ∆ABD có:

∠A chung

⇒ ∆ADM ∽ ∆ABD (g-g)

⇒ AD/AB = AM/AD

⇒ AD² = AM.AB

Mà AD² = AN.AC (cmt)

⇒ AM.AB = AN.AC

⇒ AM/AC = AN/AB

Xét ∆AMN và ∆ACB có:

AM/AC = AN/AB (cmt)

∠A chung

⇒ ∆AMN ∽ ∆ACB (c-g-c)

⇒ ∠ANM = ∠ABC

Mà ∠ABC = ∠AEF

⇒ ∠ANM = ∠AEF

Mà ∠ANM và ∠AEF là hai góc đồng vị

⇒ EF // MN

a: Gọi hình chóp cần tìm là S.ABC. Gọi O là tâm của đáy ABC, H là trung điểm của AB

Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều

nên đáy ABC là tam giác đều

=>AB=BC=AC=6cm

S.ABC là hình chóp đều

=>SA=SB=SC=6cm

Vì S.ABC là hình chóp đều

mà O là tâm của đáy

nên SO⊥(ABC)

Vì ΔSAB cân tại S

mà SH là đường trung tuyến

nên SH⊥AB tại H

=>SH là độ dài trung đoạn của hình chóp

Xét ΔSAB đều có SH là đường cao

nên \(SH=SB\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Chu vi đáy là 6+6+6=18(cm)

Diện tích xung quanh là:

\(S_{xq}=\frac12\cdot18\cdot3\sqrt3=9\cdot3\sqrt3=27\sqrt3\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

c: ΔABC đều

mà O là tâm của đáy

nên O là trọng tâm của ΔABC

Xét ΔABC đều có CH là đường trung tuyến

nên \(CH=AC\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC có

CH là đường trung tuyến

O là trọng tâm

Do đó: C,O,H thẳng hàng

=>\(CO=\frac23CH\)

=>\(CO=\frac23\cdot3\sqrt3=2\sqrt3\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔSOC vuông tại O

=>\(SO^2+OC^2=SC^2\)

=>\(SO^2=6^2-\left(2\sqrt3\right)^2=36-12=24\)

=>\(SO=2\sqrt6\left(\operatorname{cm}\right)\)

d:

ΔABC đều

=>\(S_{ABC}=AB^2\cdot\frac{\sqrt3}{4}=6^2\cdot\frac{\sqrt3}{4}=9\sqrt3\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Thể tích hình chóp là: \(V=\frac13\cdot9\sqrt3\cdot2\sqrt6=3\sqrt3\cdot2\sqrt6=6\sqrt{18}=18\sqrt2\left(\operatorname{cm}^3\right)\)

a: \(A=\dfrac{2x^2-4x+7}{x^2-2x+2}\)

\(=\dfrac{2x^2-4x+4+3}{x^2-2x+2}\)

\(=2+\dfrac{3}{x^2-2x+2}=2+\dfrac{3}{\left(x-1\right)^2+1}\)

\(\left(x-1\right)^2+1>=1\forall x\)

=>\(\dfrac{3}{\left(x-1\right)^2+1}< =\dfrac{3}{1}=3\forall x\)

=>\(A=\dfrac{3}{\left(x-1\right)^2+1}+2< =3+2=5\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x-1=0

=>x=1